Номер 15.9, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.9. В какой точке пересекаются касательные к графику функции $y=\frac{1}{2}(x-1)^2$, проведенные в точках $(-1; 2)$ и $(2; 0,5)$?

Для нахождения точки пересечения касательных необходимо сначала составить уравнения этих касательных. Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}(x - 1)^2$.

Сначала найдем ее производную. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{1}{2}(x-1)^2\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2(x-1)^{2-1} \cdot (x-1)' = x-1$.

Теперь составим уравнение для первой касательной, проведенной в точке $(-1; 2)$. В этой точке абсцисса касания $x_0 = -1$.

Значение функции в этой точке: $f(-1) = \frac{1}{2}(-1-1)^2 = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в этой точке: $k_1 = f'(-1) = -1 - 1 = -2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = 2 + (-2)(x + 1)$

$y = 2 - 2x - 2$

Уравнение первой касательной: $y = -2x$.

Далее составим уравнение для второй касательной, проведенной в точке $(2; 0,5)$. В этой точке абсцисса касания $x_0 = 2$.

Значение функции в этой точке: $f(2) = \frac{1}{2}(2-1)^2 = \frac{1}{2}(1)^2 = 0,5$.

Угловой коэффициент касательной: $k_2 = f'(2) = 2 - 1 = 1$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2)$

$y = 0,5 + 1(x - 2)$

$y = 0,5 + x - 2$

Уравнение второй касательной: $y = x - 1,5$.

Для нахождения точки пересечения двух касательных необходимо решить систему уравнений, состоящую из их уравнений:

$\begin{cases} y = -2x \\ y = x - 1,5 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу $x$ точки пересечения:

$-2x = x - 1,5$

$-3x = -1,5$

$x = \frac{-1,5}{-3} = 0,5$.

Теперь найдем ординату $y$ точки пересечения, подставив найденное значение $x$ в любое из уравнений касательных. Воспользуемся первым уравнением:

$y = -2 \cdot 0,5 = -1$.

Следовательно, касательные пересекаются в точке с координатами $(0,5; -1)$.

Ответ: $(0,5; -1)$.