Номер 16.3, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные функций (16.3–16.4):

16.3. a) $f(x) = \sqrt{x+15}$;

б) $f(x) = \sqrt{7-8x}$;

в) $f(x) = (-x^2+5)^3$;

г) $f(x) = (-8x^2+1)^4$.

16.3. а) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x+15}$ используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя функция $h(x) = x+15$.

Найдем производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(u) = (\sqrt{u})' = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (x+15)' = (x)' + (15)' = 1 + 0 = 1$.

Теперь применим цепное правило, подставив $h(x)$ вместо $u$:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+15}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+15}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+15}}$.

16.3. б) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{7-8x}$ применим правило дифференцирования сложной функции.

Здесь внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $h(x) = 7-8x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (7-8x)' = (7)' - (8x)' = 0 - 8 = -8$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7-8x}} \cdot (-8) = -\frac{8}{2\sqrt{7-8x}} = -\frac{4}{\sqrt{7-8x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{7-8x}}$.

16.3. в) Для нахождения производной функции $f(x) = (-x^2 + 5)^3$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = u^3$, внутренняя функция $h(x) = -x^2 + 5$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (-x^2 + 5)' = (-x^2)' + (5)' = -2x + 0 = -2x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 3(-x^2+5)^2 \cdot (-2x) = -6x(-x^2+5)^2$.

Ответ: $f'(x) = -6x(-x^2+5)^2$.

16.3. г) Для нахождения производной функции $f(x) = (-8x^2 + 1)^4$ используем правило дифференцирования сложной функции.

Внешняя функция $g(u) = u^4$, внутренняя функция $h(x) = -8x^2 + 1$.

Найдем производные:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^4)' = 4u^3$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (-8x^2 + 1)' = (-8x^2)' + (1)' = -16x + 0 = -16x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 4(-8x^2+1)^3 \cdot (-16x) = -64x(-8x^2+1)^3$.

Ответ: $f'(x) = -64x(-8x^2+1)^3$.