Номер 16.6, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.6. Найдите производную функции:

а) $f(x) = (7x^5 - 3x^7)^{17} + (6x - 3x^3)^{13}$;

б) $f(x) = \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27} - \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}$;

в) $f(x) = (4 - 5x)^{10} - (5 - 4x)^{20}$;

г) $f(x) = (x^5 - 4x)^{13} + \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}$.

а)Для нахождения производной функции $f(x) = (7x^5 - 3x^7)^{17} + (6x - 3x^3)^{13}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы (производная суммы равна сумме производных) и формулой производной сложной функции $(u(x)^n)' = n \cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)$.$f'(x) = ((7x^5 - 3x^7)^{17})' + ((6x - 3x^3)^{13})'$.Найдем производную первого слагаемого:$((7x^5 - 3x^7)^{17})' = 17 \cdot (7x^5 - 3x^7)^{16} \cdot (7x^5 - 3x^7)' = 17 \cdot (7x^5 - 3x^7)^{16} \cdot (7 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 7x^6) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16}$.Найдем производную второго слагаемого:$((6x - 3x^3)^{13})' = 13 \cdot (6x - 3x^3)^{12} \cdot (6x - 3x^3)' = 13 \cdot (6x - 3x^3)^{12} \cdot (6 - 3 \cdot 3x^2) = 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.Сложим полученные производные:$f'(x) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16} + 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.Ответ: $f'(x) = 17(35x^4 - 21x^6)(7x^5 - 3x^7)^{16} + 13(6 - 9x^2)(6x - 3x^3)^{12}$.

б)Для функции $f(x) = \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27} - \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}$ используем правило дифференцирования разности и формулу производной сложной функции.$f'(x) = \left(\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27}\right)' - \left(\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}\right)'$.Находим производную уменьшаемого:$\left(\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{27}\right)' = 27 \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)' = 27 \cdot \left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} \cdot (-27x^2) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26}$.Находим производную вычитаемого:$\left(\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{30}\right)' = 30 \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29} \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)' = 30 \cdot \left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29} \cdot \frac{1}{5} = 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.Объединяем результаты:$f'(x) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} - 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.Ответ: $f'(x) = -729x^2\left(\frac{1}{3} - 9x^3\right)^{26} - 6\left(\frac{1}{5}x + 9\right)^{29}$.

в)Для функции $f(x) = (4 - 5x)^{10} - (5 - 4x)^{20}$ используем правило дифференцирования разности и формулу производной сложной функции.$f'(x) = ((4 - 5x)^{10})' - ((5 - 4x)^{20})'$.Находим производную уменьшаемого:$((4 - 5x)^{10})' = 10 \cdot (4 - 5x)^9 \cdot (4 - 5x)' = 10 \cdot (4 - 5x)^9 \cdot (-5) = -50(4 - 5x)^9$.Находим производную вычитаемого:$((5 - 4x)^{20})' = 20 \cdot (5 - 4x)^{19} \cdot (5 - 4x)' = 20 \cdot (5 - 4x)^{19} \cdot (-4) = -80(5 - 4x)^{19}$.Вычитаем второе из первого:$f'(x) = -50(4 - 5x)^9 - (-80(5 - 4x)^{19}) = -50(4 - 5x)^9 + 80(5 - 4x)^{19}$.Ответ: $f'(x) = 80(5 - 4x)^{19} - 50(4 - 5x)^9$.

г)Для функции $f(x) = (x^5 - 4x)^{13} + \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной сложной функции.$f'(x) = ((x^5 - 4x)^{13})' + \left(\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}\right)'$.Находим производную первого слагаемого:$((x^5 - 4x)^{13})' = 13 \cdot (x^5 - 4x)^{12} \cdot (x^5 - 4x)' = 13 \cdot (x^5 - 4x)^{12} \cdot (5x^4 - 4) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12}$.Находим производную второго слагаемого:$\left(\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{14}\right)' = 14 \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13} \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)' = 14 \cdot \left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13} \cdot (-30x^5) = -420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.Складываем результаты:$f'(x) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12} - 420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.Ответ: $f'(x) = 13(5x^4 - 4)(x^5 - 4x)^{12} - 420x^5\left(\frac{1}{6} - 5x^6\right)^{13}$.