Номер 16.4, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

16.4. a) $f(x) = 5(3x + x^3 - 4x^4)^3$;

б) $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$;

В) $f(x) = (3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^5$;

Г) $f(x) = (4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5$.

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = 5(3x + x^3 - 4x^4)^3$, мы применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило для степенной функции.

Правило дифференцирования сложной функции имеет вид $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В нашем случае, функция $f(x)$ является произведением константы $5$ и сложной функции. По правилу, константа выносится за знак производной.

Пусть внешняя функция $g(u) = u^3$, а внутренняя функция $h(x) = 3x + x^3 - 4x^4$.

Сначала найдем производную внешней функции по $u$: $g'(u) = (u^3)' = 3u^2$.

Затем найдем производную внутренней функции по $x$: $h'(x) = (3x + x^3 - 4x^4)' = (3x)' + (x^3)' - (4x^4)' = 3 + 3x^2 - 4 \cdot 4x^3 = 3 + 3x^2 - 16x^3$.

Теперь, согласно цепному правилу, производная $f(x)$ равна:

$f'(x) = 5 \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) = 5 \cdot 3(h(x))^2 \cdot h'(x)$.

Подставляем выражения для $h(x)$ и $h'(x)$:

$f'(x) = 15(3x + x^3 - 4x^4)^2 \cdot (3 + 3x^2 - 16x^3)$.

Ответ: $f'(x) = 15(3 + 3x^2 - 16x^3)(3x + x^3 - 4x^4)^2$.

б) Для нахождения производной функции $f(x) = (4x^2 - x^4)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 4x^2 - x^4$ и показатель степени $n=2$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (4x^2 - x^4)' = (4x^2)' - (x^4)' = 4 \cdot 2x - 4x^3 = 8x - 4x^3$.

Теперь применяем формулу для производной сложной функции:

$f'(x) = 2 \cdot (4x^2 - x^4)^{2-1} \cdot (8x - 4x^3) = 2(4x^2 - x^4)(8x - 4x^3)$.

Ответ: $f'(x) = 2(4x^2 - x^4)(8x - 4x^3)$.

в) Чтобы найти производную функции $f(x) = (3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^5$, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Для этого представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

Функция примет вид: $f(x) = (3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)^5$.

Применяем формулу $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 3x^{1/2} - 2x^2 + x^5$ и $n=5$.

Находим производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)' = (3x^{1/2})' - (2x^2)' + (x^5)' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 \cdot 2x + 5x^4 = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4$.

Подставляем найденные значения в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 5(3x^{1/2} - 2x^2 + x^5)^{5-1} \cdot (\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

$f'(x) = 5(3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^4(\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

Ответ: $f'(x) = 5(3\sqrt{x} - 2x^2 + x^5)^4(\frac{3}{2\sqrt{x}} - 4x + 5x^4)$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = (4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^6$ снова применим правило дифференцирования сложной функции. Запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.

Функция: $f(x) = (4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)^6$.

Используем формулу $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$, где $u(x) = 4x^{1/2} + 6x^2 - 5x$ и $n=6$.

Находим производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)' = (4x^{1/2})' + (6x^2)' - (5x)' = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} + 6 \cdot 2x - 5 = 2x^{-1/2} + 12x - 5 = \frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5$.

Теперь находим производную исходной функции:

$f'(x) = 6(4x^{1/2} + 6x^2 - 5x)^{6-1} \cdot (\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.

$f'(x) = 6(4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5(\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.

Ответ: $f'(x) = 6(4\sqrt{x} + 6x^2 - 5x)^5(\frac{2}{\sqrt{x}} + 12x - 5)$.