Номер 15.8, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

15.8. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$,
параллельной оси абсцисс:

а) $y = 2 + x^2$;

б) $y = - x^2$;

в) $y = x^2 - 3$;

г) $y = x^2 - 2x$.

Для нахождения уравнения касательной, параллельной оси абсцисс, необходимо найти точку на графике функции, в которой производная равна нулю. Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент $k = f'(x_0)$ должен быть равен нулю. В этом случае уравнение касательной принимает вид $y = f(x_0)$. Таким образом, для каждой функции мы выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции $f'(x)$.

2. Решим уравнение $f'(x_0) = 0$ для нахождения абсциссы точки касания $x_0$.

3. Вычислим ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.

4. Запишем уравнение касательной в виде $y = y_0$.

а)

Рассмотрим функцию $y = 2 + x^2$.

1. Находим производную функции: $y' = (2 + x^2)' = 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания, подставив $x_0=0$ в исходную функцию: $y_0 = 2 + 0^2 = 2$.

4. Уравнение касательной, параллельной оси абсцисс, есть $y = 2$.

Ответ: $y = 2$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -x^2$.

1. Находим производную функции: $y' = (-x^2)' = -2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $-2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания: $y_0 = -0^2 = 0$.

4. Уравнение касательной есть $y = 0$.

Ответ: $y = 0$.

в)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^2 - 3)' = 2x$.

2. Приравниваем производную к нулю: $2x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = 0$.

3. Находим ординату точки касания: $y_0 = 0^2 - 3 = -3$.

4. Уравнение касательной есть $y = -3$.

Ответ: $y = -3$.

г)

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 2x$.

1. Находим производную функции: $y' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

2. Приравниваем производную к нулю: $2x_0 - 2 = 0 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1$.

3. Находим ординату точки касания, подставив $x_0=1$ в исходную функцию: $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

4. Уравнение касательной есть $y = -1$.

Ответ: $y = -1$.