Номер 17.9, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите производные функций (17.9–17.11):

17.9. а) $f(x) = \cos x \cdot (\cos x - 1);$ б) $f(x) = \operatorname{tg} x(\cos x + 2);$

в) $f(x) = \sin x(\operatorname{ctg} x - 1);$ г) $f(x) = (4x - 1) \cdot \sin x.$

а) Для того чтобы найти производную функции $f(x) = \cos x \cdot (\cos x - 1)$, мы можем сначала упростить выражение, раскрыв скобки, или использовать правило дифференцирования произведения. Упрощение выглядит более эффективным.

Раскроем скобки: $f(x) = \cos^2 x - \cos x$.

Теперь найдем производную этой функции, используя правила дифференцирования. Производная разности равна разности производных:

$f'(x) = (\cos^2 x - \cos x)' = (\cos^2 x)' - (\cos x)'$.

Для нахождения производной $(\cos^2 x)'$ применим правило дифференцирования сложной функции. Если $u = \cos x$, то функция имеет вид $u^2$. Ее производная равна $2u \cdot u' = 2\cos x \cdot (\cos x)'$.

Поскольку $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:

$(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Теперь соберем все вместе:

$f'(x) = -2\sin x \cos x - (-\sin x) = \sin x - 2\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, ответ можно записать как $f'(x) = \sin x - \sin(2x)$.

Ответ: $f'(x) = \sin x - 2\sin x \cos x$.

б) Для функции $f(x) = \text{tg}x(\cos x + 2)$ также проще сначала упростить выражение.

Заменим $\text{tg}x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$ и раскроем скобки:

$f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}(\cos x + 2) = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x + 2 \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x + 2\text{tg}x$.

Теперь найти производную этого выражения значительно проще:

$f'(x) = (\sin x + 2\text{tg}x)' = (\sin x)' + (2\text{tg}x)'$.

Используя табличные производные $(\sin x)' = \cos x$ и $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$f'(x) = \cos x + 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x + \frac{2}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \cos x + \frac{2}{\cos^2 x}$.

в) Для функции $f(x) = \sin x(\text{ctg}x - 1)$ применим тот же подход с предварительным упрощением.

Заменим $\text{ctg}x$ на $\frac{\cos x}{\sin x}$ и раскроем скобки:

$f(x) = \sin x \left(\frac{\cos x}{\sin x} - 1\right) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} - \sin x \cdot 1 = \cos x - \sin x$.

Теперь находим производную полученной простой функции:

$f'(x) = (\cos x - \sin x)' = (\cos x)' - (\sin x)'$.

Используя известные производные $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\sin x)' = \cos x$, имеем:

$f'(x) = -\sin x - \cos x$.

Ответ: $f'(x) = -\sin x - \cos x$.

г) Для функции $f(x) = (4x - 1) \cdot \sin x$ необходимо использовать правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 4x - 1$ и $v(x) = \sin x$.

Найдем производные каждой из этих функций:

$u'(x) = (4x - 1)' = 4$.

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 4 \cdot \sin x + (4x - 1) \cdot \cos x$.

Дальнейшее упрощение не требуется.

Ответ: $f'(x) = 4\sin x + (4x - 1)\cos x$.