Номер 14.1, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.1. Найдите производную функции:

а) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4$;

б) $f(x) = 4x^8 + \sqrt{x}$;

в) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^1$;

г) $f(x) = 4x^6 + 7x^5 + 1$;

д) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4$;

е) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x$;

ж) $f(x) = 2\sqrt{x} - 2$;

з) $f(x) = -5x^2 + x + 1$.

Для нахождения производной функции будем использовать следующие правила дифференцирования:

1. Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

2. Производная суммы функций: $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$.

3. Константа выносится за знак производной: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$.

4. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4$.

Находим ее производную, применяя правила для каждого слагаемого:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 4)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (2x^2)' - (4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^2)' - 0 = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} = x^2 + 4x$

Ответ: $f'(x) = x^2 + 4x$

б) Дана функция $f(x) = 4x^8 + \sqrt{x}$.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и применим правила дифференцирования:

$f'(x) = (4x^8 + x^{1/2})' = (4x^8)' + (x^{1/2})'$

$f'(x) = 4 \cdot (x^8)' + (x^{1/2})' = 4 \cdot 8x^{8-1} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = 32x^7 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 32x^7 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = 32x^7 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

в) Дана функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x^4$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + 2x^4)' = (\frac{1}{3}x^3)' + (2x^4)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' + 2 \cdot (x^4)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} = x^2 + 8x^3$

Ответ: $f'(x) = x^2 + 8x^3$

г) Дана функция $f(x) = 4x^6 + 7x^5 + 1$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (4x^6 + 7x^5 + 1)' = (4x^6)' + (7x^5)' + (1)'$

$f'(x) = 4 \cdot (x^6)' + 7 \cdot (x^5)' + 0 = 4 \cdot 6x^{6-1} + 7 \cdot 5x^{5-1} = 24x^5 + 35x^4$

Ответ: $f'(x) = 24x^5 + 35x^4$

д) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4)' = (-\frac{1}{3}x^2)' + (3x)' - (4)'$

$f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot (x^2)' + 3 \cdot (x)' - 0 = -\frac{1}{3} \cdot 2x^{2-1} + 3 \cdot 1 = -\frac{2}{3}x + 3$

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{3}x + 3$

е) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 + x)' = (\frac{1}{4}x^4)' + (x)'$

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (x^4)' + 1 = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} + 1 = x^3 + 1$

Ответ: $f'(x) = x^3 + 1$

ж) Дана функция $f(x) = 2\sqrt{x} - 2$.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (2x^{1/2} - 2)' = (2x^{1/2})' - (2)'$

$f'(x) = 2 \cdot (x^{1/2})' - 0 = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

з) Дана функция $f(x) = -5x^2 + x + 1$.

Находим ее производную:

$f'(x) = (-5x^2 + x + 1)' = (-5x^2)' + (x)' + (1)'$

$f'(x) = -5 \cdot (x^2)' + 1 + 0 = -5 \cdot 2x^{2-1} + 1 = -10x + 1$

Ответ: $f'(x) = -10x + 1$