Номер 13.5, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.5. Найдите производную функции $f(x)$ в точке $x_0$, используя алгоритм нахождения производной:

а) $f(x) = 3x^2 + 1, x_0 = -2;$

б) $f(x) = x^2 - 2, x_0 = -1.$

а) Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$ в точке $x_0 = -2$.

Алгоритм нахождения производной состоит из следующих шагов:

1. Находим значение функции в начальной точке $x_0$.

$f(x_0) = f(-2) = 3(-2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.

2. Находим значение функции в точке $x_0 + \Delta x$.

$f(x_0 + \Delta x) = f(-2 + \Delta x) = 3(-2 + \Delta x)^2 + 1$.

Раскроем скобки: $3(4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) + 1 = 12 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2 + 1 = 13 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2$.

3. Находим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

$\Delta f = (13 - 12\Delta x + 3(\Delta x)^2) - 13 = -12\Delta x + 3(\Delta x)^2$.

4. Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-12\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-12 + 3\Delta x)}{\Delta x}$.

Сокращаем на $\Delta x$ (так как $\Delta x \neq 0$): $-12 + 3\Delta x$.

5. Находим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} (-12 + 3\Delta x) = -12 + 3 \cdot 0 = -12$.

Ответ: -12.

б) Для функции $f(x) = x^2 - 2$ в точке $x_0 = -1$.

Применяем тот же алгоритм:

1. Находим значение функции в точке $x_0$.

$f(x_0) = f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$.

2. Находим значение функции в точке $x_0 + \Delta x$.

$f(x_0 + \Delta x) = f(-1 + \Delta x) = (-1 + \Delta x)^2 - 2$.

Раскроем скобки: $(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 2 = -1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2$.

3. Находим приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

$\Delta f = (-1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2) - (-1) = -1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 = -2\Delta x + (\Delta x)^2$.

4. Составляем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(-2 + \Delta x)}{\Delta x}$.

Сокращаем на $\Delta x$: $-2 + \Delta x$.

5. Находим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$.

$f'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2 + \Delta x) = -2 + 0 = -2$.

Ответ: -2.