Номер 13.6, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

13.6. Найдите $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке $x_0$:

a) $f(x)=\frac{1}{2}+\sin x ; x_0=\frac{3\pi}{4} ; x=\frac{2\pi}{3}$;

б) $f(x)=\operatorname{ctg} x-\sqrt{3} ; x_0=\frac{\pi}{4} ; x=\frac{\pi}{3}$.

а) Дано: $f(x) = \frac{1}{2} + \sin x$; $x_0 = \frac{3\pi}{4}$; $x = \frac{2\pi}{3}$.

Приращение аргумента $\Delta x$ — это разность между конечным и начальным значениями аргумента:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:

$\Delta x = \frac{4 \cdot 2\pi}{12} - \frac{3 \cdot 3\pi}{12} = \frac{8\pi - 9\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Приращение функции $\Delta f$ — это разность значений функции в конечной и начальной точках:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{2\pi}{3}) - f(\frac{3\pi}{4})$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(x_0) = f(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.

$f(x) = f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = \frac{1+\sqrt{3}}{2} - \frac{1+\sqrt{2}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}-1-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\Delta x = -\frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$.

б) Дано: $f(x) = \text{ctg}x - \sqrt{3}$; $x_0 = \frac{\pi}{4}$; $x = \frac{\pi}{3}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$

Приводя дроби к общему знаменателю 12, получаем:

$\Delta x = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) - f(\frac{\pi}{4})$.

Вычислим значения функции в этих точках:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.

$f(x) = f(\frac{\pi}{3}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = (\frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{3}}{3} - 1$.