Номер 14.3, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.3. Вычислите производную функции $f(x)$ и ее значения в точке $x_0$:

a) $f(x) = x^2(x - 1)$, $x_0 = -1;$

б) $f(x) = \frac{2x + 1}{x}$, $x_0 = -1;$

в) $f(x) = 3x(x + 1)$, $x_0 = -\frac{2}{3};$

г) $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$, $x_0 = 1.$

а) Дана функция $f(x) = x^2(x - 1)$ и точка $x_0 = -1$.Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки: $f(x) = x^3 - x^2$.Далее найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования разности:$f'(x) = (x^3 - x^2)' = (x^3)' - (x^2)' = 3x^2 - 2x$.Теперь вычислим значение производной в заданной точке $x_0 = -1$:$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 2x$; $f'(-1) = 5$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{2x+1}{x}$ и точка $x_0 = -1$.Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = 2x+1$ и $v(x) = x$. Тогда их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.Подставим в формулу:$f'(x) = \frac{2 \cdot x - (2x+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x - 2x - 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$; $f'(-1) = -1$.

в) Дана функция $f(x) = 3x(x+1)$ и точка $x_0 = -\frac{2}{3}$.Сначала упростим выражение для функции: $f(x) = 3x^2 + 3x$.Найдем производную функции, используя правила дифференцирования:$f'(x) = (3x^2 + 3x)' = (3x^2)' + (3x)' = 6x + 3$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{2}{3}$:$f'(-\frac{2}{3}) = 6 \cdot (-\frac{2}{3}) + 3 = - \frac{12}{3} + 3 = -4 + 3 = -1$.

Ответ: $f'(x) = 6x + 3$; $f'(-\frac{2}{3}) = -1$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ и точка $x_0 = 1$.Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = x-2$. Тогда их производные: $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$.Подставим в формулу:$f'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} = -\frac{3}{(x-2)^2}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:$f'(1) = -\frac{3}{(1-2)^2} = -\frac{3}{(-1)^2} = -\frac{3}{1} = -3$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{(x-2)^2}$; $f'(1) = -3$.