Номер 14.8, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.8. Вычислите $f'(-1)$, если:

а) $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$;

б) $f(x) = \frac{x}{2x - 1}$;

в) $f(x) = \frac{3}{2x + 2}$;

г) $f(x) = \frac{x + 4}{2x - 1}$.

а)

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = x + 1$. Их производные равны $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2}$.

Теперь нужно вычислить значение $f'(-1)$. Однако, область определения исходной функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$. Так как функция не определена в точке $x = -1$, она не является непрерывной в этой точке и, следовательно, недифференцируема. Производная $f'(-1)$ не существует.

Ответ: производная в точке $x = -1$ не существует.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x}{2x - 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = 2x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x - 1) - x \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x}{(2x - 1)^2} = \frac{-1}{(2x - 1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = \frac{-1}{(2(-1) - 1)^2} = \frac{-1}{(-2 - 1)^2} = \frac{-1}{(-3)^2} = -\frac{1}{9}$.

Ответ: $-\frac{1}{9}$.

в)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{2x + 2}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 3$ и $v(x) = 2x + 2$. Их производные равны $u'(x) = 0$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{0 \cdot (2x + 2) - 3 \cdot 2}{(2x + 2)^2} = \frac{-6}{(2x + 2)^2}$.

Теперь нужно вычислить значение $f'(-1)$. Область определения исходной функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $x = -1$, так как при $x = -1$ знаменатель $2x+2$ обращается в ноль. Поскольку функция не определена в точке $x = -1$, она не может быть дифференцируема в этой точке. Производная $f'(-1)$ не существует.

Ответ: производная в точке $x = -1$ не существует.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{x + 4}{2x - 1}$. Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x + 4$ и $v(x) = 2x - 1$. Их производные равны $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x - 1) - (x + 4) \cdot 2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x - 1 - 2x - 8}{(2x - 1)^2} = \frac{-9}{(2x - 1)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = \frac{-9}{(2(-1) - 1)^2} = \frac{-9}{(-2 - 1)^2} = \frac{-9}{(-3)^2} = \frac{-9}{9} = -1$.

Ответ: $-1$.