Номер 14.6, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.6. Найдите производную функции:

a) $f(x)=\frac{x^2 - 2x}{3 + x^2};$

б) $f(x)=\frac{16 - x^4}{x^2 - 4}.$

в) $f(x)=\frac{3x^3 - 1}{x^3};$

г) $f(x)=\frac{x^2}{x^4 + 1}$.$

а) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{3 + x^2}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = x^2 - 2x$ и $v(x) = 3 + x^2$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$

$v'(x) = (3 + x^2)' = 2x$

Подставим эти значения в формулу производной дроби:

$f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 + x^2) - (x^2 - 2x)(2x)}{(3 + x^2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$f'(x) = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - (2x^3 - 4x^2)}{(3 + x^2)^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2}{(3 + x^2)^2} = \frac{2x^2 + 6x - 6}{(3 + x^2)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - 6}{(3 + x^2)^2}$.

б) Для функции $f(x) = \frac{16 - x^4}{x^2 - 4}$ сначала упростим выражение. Заметим, что область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 2$.

Разложим числитель на множители как разность квадратов: $16 - x^4 = (4 - x^2)(4 + x^2)$.

Знаменатель можно записать как $x^2 - 4 = -(4 - x^2)$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = \frac{(4 - x^2)(4 + x^2)}{-(4 - x^2)}$

Сократим дробь на $(4 - x^2)$:

$f(x) = -(4 + x^2) = -4 - x^2$

Теперь найдем производную от упрощенной функции:

$f'(x) = (-4 - x^2)' = -2x$

Ответ: $f'(x) = -2x$.

в) Для функции $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x^3}$ сначала упростим выражение, разделив числитель почленно на знаменатель (при $x \neq 0$):

$f(x) = \frac{3x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 3 - x^{-3}$

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$f'(x) = (3 - x^{-3})' = (3)' - (x^{-3})' = 0 - (-3)x^{-3-1} = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4}$

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{x^4}$.

г) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = x^4 + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$

$v'(x) = (x^4 + 1)' = 4x^3$

Подставим в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x)(x^4 + 1) - (x^2)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^5 + 2x - 4x^5}{(x^4 + 1)^2} = \frac{2x - 2x^5}{(x^4 + 1)^2}$

Можно вынести общий множитель $2x$ в числителе для более компактного вида:

$f'(x) = \frac{2x(1 - x^4)}{(x^4 + 1)^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2x(1 - x^4)}{(x^4 + 1)^2}$.