Вопросы, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Как вы считаете: физический смысл производной — это мгновенная или средняя скорость? Ответ обоснуйте.

2. Какая связь существует между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производная?

1. Как вы считаете: физический смысл производной — это мгновенная или средняя скорость? Ответ обоснуйте. Физический смысл производной от функции, описывающей зависимость пути от времени $s(t)$, — это мгновенная скорость. Обоснование заключается в следующем. Средняя скорость на промежутке времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ определяется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$: $v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$. Эта величина описывает скорость в среднем за весь конечный промежуток времени $\Delta t$. Чтобы определить скорость в конкретный момент времени $t_0$, то есть мгновенную скорость, необходимо сделать этот промежуток времени бесконечно малым, то есть найти предел средней скорости при $\Delta t \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $s(t)$ в точке $t_0$: $v_{мгн}(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = s'(t_0)$. Таким образом, производная пути по времени представляет собой мгновенную скорость. Ответ: Физический смысл производной — это мгновенная скорость.

2. Какая связь существует между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производная? Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Эта связь является геометрическим смыслом производной. Обоснование следующее. Рассмотрим секущую, проходящую через две точки графика функции $y = f(x)$: $(x_0, f(x_0))$ и $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$. Ее угловой коэффициент равен отношению приращения функции к приращению аргумента: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Касательная в точке $(x_0, f(x_0))$ является предельным положением этой секущей, когда вторая точка стремится к первой, то есть когда $\Delta x$ стремится к нулю. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ равен пределу углового коэффициента секущей: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$. Данное выражение является определением производной функции $f(x)$ в точке $x_0$. Таким образом, $f'(x_0) = k_{кас}$. Ответ: Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.