Номер 14.10, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.10. Решите неравенство $f''(x) > 0$:

а) $f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7$;

б) $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x$.

а) Чтобы решить неравенство $f'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $f(x) = 12x^3 + 18x^2 - 7$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (12x^3 + 18x^2 - 7)' = 12 \cdot 3x^2 + 18 \cdot 2x - 0 = 36x^2 + 36x$.

Теперь решим неравенство:

$36x^2 + 36x > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $36x^2 + 36x = 0$.

Вынесем общий множитель $36x$ за скобки:

$36x(x + 1) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = 36x^2 + 36x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($36 > 0$). Следовательно, значения функции положительны на интервалах, находящихся вне корней.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ и $x > 0$.

Запишем решение в виде объединения интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

б) Найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x$.

$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x + 3 = -x^2 + 2x + 3$.

Теперь решим неравенство:

$-x^2 + 2x + 3 > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $-x^2 + 2x + 3 = 0$.

Умножим обе части на $-1$, чтобы упростить решение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

Графиком функции $y = -x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$). Следовательно, значения функции положительны на интервале между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $-1 < x < 3$.

Запишем решение в виде интервала: $x \in (-1; 3)$.

Ответ: $x \in (-1; 3)$.