Номер 14.4, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.4. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

a) $f(x) = 18x^2 - 7x + 1;$

б) $f(x) = \frac{x^2}{2} - 5x + 2;$

в) $f(x) = 1 + 3x - x^2;$

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7}.$

а)

Дана функция $f(x) = 18x^2 - 7x + 1$. Для решения неравенства $f'(x) > 0$ необходимо сначала найти производную данной функции.

Используя правила дифференцирования, в частности производную степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (18x^2 - 7x + 1)' = 18 \cdot (x^2)' - 7 \cdot (x)' + (1)' = 18 \cdot 2x - 7 \cdot 1 + 0 = 36x - 7$.

Теперь составим и решим неравенство $f'(x) > 0$:

$36x - 7 > 0$

Перенесем свободный член в правую часть неравенства:

$36x > 7$

Разделим обе части неравенства на положительное число 36:

$x > \frac{7}{36}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(\frac{7}{36}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{7}{36}; +\infty)$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2}{2} - 5x + 2$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 5x + 2)' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (5x)' + (2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 5 + 0 = x - 5$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x - 5 > 0$

Перенесем $-5$ в правую часть:

$x > 5$

Решением неравенства является числовой промежуток $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в)

Дана функция $f(x) = 1 + 3x - x^2$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (1 + 3x - x^2)' = (1)' + (3x)' - (x^2)' = 0 + 3 - 2x = 3 - 2x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$3 - 2x > 0$

Перенесем член с переменной в правую часть (или свободный член в правую и потом разделим на -2):

$-2x > -3$

Разделим обе части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-3}{-2}$

$x < \frac{3}{2}$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{3}{2})$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{2})$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7}$. Найдем ее производную.

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{6}{7})' = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' - (2x)' + (\frac{6}{7})' = \frac{1}{2} \cdot 2x - 2 + 0 = x - 2$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$x - 2 > 0$

Перенесем $-2$ в правую часть:

$x > 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.