Номер 14.5, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

14.5. Найдите производную функции:

a) $f(x) = (x + 5)(x - 4)$;

б) $f(x) = \sqrt{2} x^2 - (3x - 2)(5x + 1)$;

в) $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$;

г) $f(x) = \frac{3x - x^2}{x + 2}$.

а) $f(x) = (x + 5)(x - 4)$

Для нахождения производной этой функции можно сначала раскрыть скобки, а затем продифференцировать полученный многочлен.

$f(x) = x \cdot x - 4 \cdot x + 5 \cdot x - 5 \cdot 4 = x^2 + x - 20$.

Теперь найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (x^2 + x - 20)' = (x^2)' + (x)' - (20)' = 2x + 1 - 0 = 2x + 1$.

Ответ: $f'(x) = 2x + 1$.

б) $f(x) = \sqrt{2} x^2 - (3x - 2)(5x + 1)$

Упростим функцию, раскрыв скобки в произведении:

$(3x - 2)(5x + 1) = 3x \cdot 5x + 3x \cdot 1 - 2 \cdot 5x - 2 \cdot 1 = 15x^2 + 3x - 10x - 2 = 15x^2 - 7x - 2$.

Подставим результат в исходную функцию:

$f(x) = \sqrt{2} x^2 - (15x^2 - 7x - 2) = \sqrt{2} x^2 - 15x^2 + 7x + 2 = (\sqrt{2} - 15)x^2 + 7x + 2$.

Найдем производную полученной функции, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = ((\sqrt{2} - 15)x^2 + 7x + 2)' = (\sqrt{2} - 15) \cdot (x^2)' + (7x)' + (2)' = (\sqrt{2} - 15) \cdot 2x + 7 + 0 = (2\sqrt{2} - 30)x + 7$.

Ответ: $f'(x) = (2\sqrt{2} - 30)x + 7$.

в) $f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1}$

Для нахождения производной частного двух функций используем формулу $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, $u(x) = x^2 + 2x$ и $v(x) = x - 1$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$.

$v'(x) = (x - 1)' = 1$.

Подставляем найденные производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x) \cdot 1}{(x - 1)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x) = (2x^2 - 2x + 2x - 2) - x^2 - 2x = 2x^2 - 2 - x^2 - 2x = x^2 - 2x - 2$.

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2}$.

г) $f(x) = \frac{3x - x^2}{x + 2}$

Применим формулу для производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = 3x - x^2$ и $v(x) = x + 2$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

$v'(x) = (x + 2)' = 1$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x^2) \cdot 1}{(x + 2)^2}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(3 - 2x)(x + 2) - (3x - x^2) = (3x + 6 - 2x^2 - 4x) - 3x + x^2 = -2x^2 - x + 6 - 3x + x^2 = -x^2 - 4x + 6$.

Таким образом, производная функции:

$f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 6}{(x + 2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-x^2 - 4x + 6}{(x + 2)^2}$.