Страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Каждое простейшее животное инфузория-туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий было первоначально, если после четырехкратного деления их стало 96:

A) 3; B) 4; C) 6; D) 5; E) 7?

Пусть $x$ — это первоначальное количество инфузорий. Каждое деление удваивает количество инфузорий. Поскольку деление произошло четыре раза, общее количество инфузорий увеличилось в $2^4$ раз.

Конечное число инфузорий равно 96. Мы можем составить уравнение, где $N_0$ — начальное количество, а $N_4$ — конечное количество после четырех делений: $N_4 = N_0 \cdot 2^4$

Подставим известные значения в формулу: $96 = N_0 \cdot 2^4$

Сначала вычислим, чему равно $2^4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение: $96 = N_0 \cdot 16$

Чтобы найти первоначальное количество инфузорий $N_0$, разделим 96 на 16: $N_0 = \frac{96}{16} = 6$

Таким образом, первоначально было 6 инфузорий.

Проверим решение, выполнив действия в прямом порядке.

Изначально: 6 инфузорий.

После 1-го деления: $6 \cdot 2 = 12$.

После 2-го деления: $12 \cdot 2 = 24$.

После 3-го деления: $24 \cdot 2 = 48$.

После 4-го деления: $48 \cdot 2 = 96$.

Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 6.

11. 2 кг яблок и 5 кг груш стоят 3100 тг. Сколько стоят 20 кг груш и 8 кг яблок:

A) 12 000 тг; B) 9300 тг; C) 12 400 тг; D) 15 500 тг; E) 16 000 тг?

Для решения этой задачи обозначим цену за 1 кг яблок как $x$ и цену за 1 кг груш как $y$. Валюта — тенге (тг).

Согласно условию, 2 кг яблок и 5 кг груш стоят 3100 тг. Это можно записать в виде уравнения:

$2x + 5y = 3100$

Нам необходимо найти, сколько стоят 20 кг груш и 8 кг яблок. Составим соответствующее выражение. Для удобства расположим яблоки на первом месте, а груши на втором:

$8x + 20y$

Теперь внимательно посмотрим на два выражения:

1. $2x + 5y = 3100$ (стоимость известной покупки)

2. $8x + 20y = ?$ (стоимость искомой покупки)

Можно заметить, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ во втором выражении ровно в 4 раза больше, чем в первом ($8 = 2 \cdot 4$ и $20 = 5 \cdot 4$).

Это значит, что искомая стоимость в 4 раза больше известной. Вынесем общий множитель 4 за скобки во втором выражении:

$8x + 20y = 4 \cdot (2x + 5y)$

Мы знаем, что выражение в скобках, $(2x + 5y)$, равно 3100. Подставим это значение:

$4 \cdot 3100 = 12400$

Следовательно, стоимость 20 кг груш и 8 кг яблок составляет 12 400 тг.

Ответ: 12 400 тг.

12. Какие из чисел 165; 175; 385 можно представить в виде произведения простых различных чисел, больших числа 3:

A) 165; 175;

B) 175; 385;

C) 165;

D) 175;

E) 385?

Для решения этой задачи необходимо разложить каждое из предложенных чисел (165, 175, 385) на простые множители и проверить, удовлетворяют ли эти множители трем условиям:

1. Все множители — простые числа.

2. Все множители — различные (не повторяются).

3. Все множители — больше 3.

Анализ числа 165

Разложим число 165 на простые множители. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5:

$165 : 5 = 33$

Число 33 делится на 3:

$33 : 3 = 11$

11 — простое число. Таким образом, разложение числа 165 имеет вид:

$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$

Множители (3, 5, 11) являются простыми и различными. Однако множитель 3 не удовлетворяет условию "быть больше числа 3". Следовательно, число 165 не подходит.

Анализ числа 175

Разложим число 175 на простые множители. Оно также оканчивается на 5:

$175 : 5 = 35$

Число 35 также делится на 5:

$35 : 5 = 7$

7 — простое число. Таким образом, разложение числа 175 имеет вид:

$175 = 5 \cdot 5 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$

Множители (5, 7) больше 3. Однако множители не являются различными, так как число 5 повторяется дважды. Следовательно, число 175 не подходит.

Анализ числа 385

Разложим число 385 на простые множители. Оно оканчивается на 5:

$385 : 5 = 77$

Число 77 делится на 7:

$77 : 7 = 11$

11 — простое число. Таким образом, разложение числа 385 имеет вид:

$385 = 5 \cdot 7 \cdot 11$

Проверим условия для множителей (5, 7, 11):

- Они являются простыми числами. (Верно)

- Они являются различными. (Верно)

- Все они больше 3 ( $5>3$, $7>3$, $11>3$ ). (Верно)

Число 385 удовлетворяет всем условиям задачи.

Таким образом, из трех чисел только 385 можно представить в виде произведения простых различных чисел, больших числа 3. Это соответствует варианту ответа E).

Ответ: E) 385?

13. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6; 9; 0, если цифры повторяются:

A) 3;

B) 4;

C) 6;

D) 5;

E) 7?

Чтобы определить, сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 9 и 0, нужно рассмотреть количество возможных вариантов для каждой позиции в числе (десятки и единицы), учитывая заданные условия.

Позиция десятков (первая цифра):

Двузначное число не может начинаться с нуля. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать либо 6, либо 9. Таким образом, у нас есть 2 варианта для позиции десятков.

Позиция единиц (вторая цифра):

В условии сказано, что цифры могут повторяться. Это означает, что для второй цифры можно использовать любую из трех данных цифр: 6, 9 или 0. Следовательно, у нас есть 3 варианта для позиции единиц.

Для нахождения общего количества возможных двузначных чисел нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это основное правило комбинаторики (правило умножения).

Количество возможных чисел = (Количество вариантов для десятков) × (Количество вариантов для единиц).

Вычисляем: $2 \times 3 = 6$.

Таким образом, можно составить 6 различных двузначных чисел. Давайте перечислим их для проверки:

60, 66, 69, 90, 96, 99.

Всего 6 чисел. Этот результат соответствует варианту C) в предложенных ответах.

Ответ: 6.

14. Квадрат разделен на четыре равных квадрата, периметр которых равен 5 см. На сколько процентов периметр данного квадрата больше периметра меньшего квадрата:

A) 20%;

B) 100%;

C) 25%;

D) 50%;

E) 150%?

1. Нахождение стороны малого квадрата

Периметр квадрата ($P$) вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина его стороны. По условию, периметр малого квадрата, назовем его $P_{малый}$, равен 5 см.

$P_{малый} = 4a = 5$ см.

Отсюда, сторона малого квадрата равна: $a = \frac{5}{4}$ см.

2. Нахождение стороны и периметра большого квадрата

Поскольку большой квадрат разделен на четыре равных квадрата, это означает, что они расположены сеткой 2x2. Следовательно, сторона большого квадрата, назовем ее $A$, состоит из двух сторон малых квадратов.

$A = 2a = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$ см.

Периметр большого квадрата, $P_{большой}$, равен:

$P_{большой} = 4A = 4 \times 2,5 = 10$ см.

3. Расчет процентного соотношения периметров

Чтобы найти, на сколько процентов периметр большого квадрата больше периметра малого, мы используем формулу для нахождения процентного увеличения. За 100% принимается величина, с которой мы сравниваем, то есть периметр малого квадрата.

$\text{Процентное увеличение} = \frac{P_{большой} - P_{малый}}{P_{малый}} \times 100\%$

Подставляем вычисленные значения:

$\frac{10 - 5}{5} \times 100\% = \frac{5}{5} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$

Таким образом, периметр большого квадрата на 100% больше периметра малого.

Ответ: 100%

15. Имена пяти учащихся класса начинаются на букву "А". Найдите вероятность того, что имя учащегося, вызванного к доске, начинается не на букву "А", если в классе 35 учащихся:

A) $\frac{7}{6}$;

B) $\frac{6}{7}$;

C) 1;

D) $\frac{1}{7}$;

E) 0,5.

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$.

Формула для расчета вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

1. Определим общее число исходов $n$.В классе всего 35 учащихся. Вызвать к доске могут любого из них, следовательно, общее число возможных исходов равно 35.

$n = 35$.

2. Определим число благоприятных исходов $m$.Нам нужно найти вероятность того, что имя вызванного учащегося не начинается на букву "А".По условию, имена 5 учащихся начинаются на букву "А". Следовательно, количество учащихся, чьи имена начинаются на любую другую букву, можно найти, вычтя из общего числа учащихся тех, чьи имена начинаются на "А".

$m = 35 - 5 = 30$.

3. Рассчитаем вероятность.Подставим значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{30}{35}$.

4. Упростим полученную дробь.Числитель и знаменатель делятся на 5:

$P = \frac{30 \div 5}{35 \div 5} = \frac{6}{7}$.

Таким образом, вероятность того, что имя ученика, вызванного к доске, не начинается на букву "А", составляет $\frac{6}{7}$. Этот вариант соответствует ответу B).

Ответ: $\frac{6}{7}$