Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10.5. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз монета выпадет со стороной "число"?

Для решения этой задачи можно использовать два способа: прямой подсчет вероятности или вычисление через противоположное событие.

Способ 1: Прямой подсчет благоприятных исходов

При бросании монеты два раза существует всего 4 равновероятных исхода. Обозначим "орел" буквой О, а "число" (как указано в задаче) буквой Ч.

Все возможные исходы:

1. Орел, Орел (О, О)

2. Орел, Число (О, Ч)

3. Число, Орел (Ч, О)

4. Число, Число (Ч, Ч)

Общее число исходов $N=4$.

Нас интересует событие A — "хотя бы один раз выпадет сторона 'число'". Этому событию соответствуют (являются благоприятными) следующие исходы:

• Орел, Число (О, Ч)

• Число, Орел (Ч, О)

• Число, Число (Ч, Ч)

Число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность события A находится по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$.

Подставляя наши значения, получаем: $P(A) = \frac{3}{4} = 0.75$.

Способ 2: Через противоположное событие

Рассмотрим событие $\bar{A}$, противоположное событию A. Если событие A — "выпало хотя бы одно 'число'", то противоположное событие $\bar{A}$ — "не выпало ни одного 'числа'", что равносильно событию "оба раза выпал 'орел'".

Этому событию $\bar{A}$ соответствует только один исход из четырех: (О, О).

Вероятность события $\bar{A}$ равна $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$.

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна единице: $P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

Отсюда можно найти искомую вероятность $P(A)$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{3}{4}$

10.6. Брошены три монеты. Какова вероятность того, что монета ровно два раза выпадет со стороной “число”?

Для решения данной задачи необходимо определить общее число всех возможных исходов и число исходов, благоприятствующих событию.

У каждой монеты есть два возможных исхода: "орел" (О) и "число" (Ч). Поскольку бросаются три независимые монеты, общее количество всех возможных комбинаций исходов можно найти, перемножив количество исходов для каждой монеты.

Общее число исходов $N$ равно $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные комбинации, чтобы наглядно их представить:

1. О О О

2. О О Ч

3. О Ч О

4. Ч О О

5. О Ч Ч

6. Ч О Ч

7. Ч Ч О

8. Ч Ч Ч

Нас интересует событие, при котором "число" (Ч) выпадает ровно два раза. Найдем в нашем списке все исходы, удовлетворяющие этому условию. Это так называемые благоприятные исходы.

Благоприятными являются следующие комбинации:

- О Ч Ч (первая монета – орел, вторая и третья – число)

- Ч О Ч (вторая монета – орел, первая и третья – число)

- Ч Ч О (третья монета – орел, первая и вторая – число)

Таким образом, количество благоприятных исходов $M$ равно 3.

Вероятность события A (выпадение "числа" ровно два раза) вычисляется по классической формуле вероятности:$P(A) = \frac{M}{N}$

где $M$ – число благоприятных исходов, а $N$ – общее число равновозможных исходов.

Подставим найденные значения в формулу:$P(A) = \frac{3}{8}$

Вероятность того, что ровно два раза выпадет "число", составляет $\frac{3}{8}$ или 0,375.

Ответ: $\frac{3}{8}$

10.7. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) оканчивается единицей;

б) состоит из одинаковых цифр;

в) не является квадратом целого числа.

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99. Их общее количество $N$ можно найти по формуле: $N = 99 - 10 + 1 = 90$.

а) оканчивается единицей; Найдем количество двузначных чисел, у которых последняя цифра — 1. Это числа: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91. Всего таких чисел 9. Это количество благоприятных исходов, $m=9$. Вероятность $P$ данного события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$. Ответ: $\frac{1}{10}$

б) состоит из одинаковых цифр; Найдем количество двузначных чисел, обе цифры которых одинаковы. Это числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Всего таких чисел 9. Количество благоприятных исходов $m=9$. Вероятность $P$ данного события равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$. Ответ: $\frac{1}{10}$

в) не является квадратом целого числа. Найдем количество двузначных чисел, которые являются квадратами целых чисел. Это квадраты целых чисел от 4 до 9: $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$, $8^2=64$, $9^2=81$. Таких чисел всего 6. Событие, которое нас интересует, — "число не является квадратом целого числа". Количество благоприятных исходов для этого события можно найти, вычтя из общего числа двузначных чисел количество чисел-квадратов: $m = 90 - 6 = 84$. Вероятность $P$ этого события равна: $P = \frac{m}{N} = \frac{84}{90} = \frac{14 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{14}{15}$. Ответ: $\frac{14}{15}$

10.8. Ербол задумал двузначное число. Найдите вероятность того, что задуманное число является кратным числам 2 и 5.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ – общее число всех равновозможных, несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, а $m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$.

1. Найдем общее число исходов $N$. Ербол задумал двузначное число. Двузначные числа – это целые числа от 10 до 99 включительно. Их количество можно найти как разность: $N = 99 - 10 + 1 = 90$. Таким образом, существует 90 различных двузначных чисел, которые мог задумать Ербол.

2. Найдем число благоприятных исходов $m$. Событие $A$ заключается в том, что задуманное число является кратным числам 2 и 5 одновременно. Если число делится и на 2, и на 5, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное. Поскольку 2 и 5 – взаимно простые числа, их наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(2, 5) = 2 \times 5 = 10$. Следовательно, нам нужно найти количество двузначных чисел, кратных 10.Такими числами являются: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.Всего таких чисел 9. Значит, число благоприятных исходов $m = 9$.

3. Теперь найдем вероятность события $A$, подставив найденные значения $m$ и $N$ в формулу вероятности:$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Ответ: $0.1$