Страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. Решите уравнение $\text{tg}\frac{x}{2}=1$:

A) $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

B) $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$;

C) $ -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$;

D) $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Дано тригонометрическое уравнение $tg\frac{x}{2}=1$. Для его решения воспользуемся общей формулой для простейших тригонометрических уравнений с тангенсом. Если $tg(y) = a$, то решением является $y = arctg(a) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in Z$).

В нашем уравнении в качестве аргумента выступает $y = \frac{x}{2}$, а числовое значение равно $a = 1$.

Подставим эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{2} = arctg(1) + \pi n$, $n \in Z$.

Основное значение арктангенса для единицы равно $\frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in Z$.

Чтобы найти $x$, необходимо выразить его из полученного равенства. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$x = 2 \cdot (\frac{\pi}{4} + \pi n)$

$x = 2 \cdot \frac{\pi}{4} + 2 \cdot \pi n$

$x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n$

Сократив дробь $\frac{2\pi}{4}$, получаем окончательный ответ:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in Z$.

Этот результат соответствует варианту D) из предложенного списка.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

3. Решите уравнение $ \cos \frac{x}{2} = 0 $:

А) $ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z $;

B) $ \pi + 2\pi n, n \in Z $;

C) $ \pi + 4\pi n, n \in Z $;

D) $ \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.

Дано тригонометрическое уравнение $\cos{\frac{x}{2}} = 0$.

Это является частным случаем решения простейшего тригонометрического уравнения вида $\cos{t} = 0$. Общее решение для такого уравнения записывается в виде формулы:

$t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$ (Z — множество целых чисел).

В нашем уравнении аргумент косинуса $t$ равен $\frac{x}{2}$. Подставим это выражение в общую формулу решения:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Чтобы найти $x$, необходимо решить это уравнение относительно $x$. Для этого умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \left(\frac{x}{2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right)$

$x = 2 \cdot \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \pi n$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Таким образом, мы нашли общее решение исходного уравнения. Сравнив его с предложенными вариантами, видим, что оно соответствует варианту B).

Ответ: B) $\pi + 2\pi n, n \in Z$.

4. Найдите область определения функции $y=\sqrt{\text{tg}x}$ :

A) $0 < x < \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$;

B) $0 < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in Z$;

C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$;

D) $0 \le x \le \pi n$, $n \in Z$.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция $y = \sqrt{\tg x}$ определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к неравенству:

$\tg x \ge 0$

2. Аргумент функции тангенса должен принадлежать области определения тангенса. Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда её знаменатель не равен нулю, то есть:

$\cos x \neq 0$

Это условие означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь решим неравенство $\tg x \ge 0$.

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$. Рассмотрим её поведение на промежутке $[0, \pi)$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{2})$, значения $\sin x \ge 0$ и $\cos x > 0$, следовательно, $\tg x \ge 0$.

В точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определён.

На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, значения $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$, следовательно, $\tg x < 0$.

Таким образом, на основном промежутке $[0, \pi)$ неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется для $x \in [0, \frac{\pi}{2})$.

Учитывая периодичность тангенса, мы можем обобщить это решение, прибавив к границам промежутка $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$0 + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Это можно записать как:

$\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данное решение уже учитывает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, так как неравенство является строгим для правой границы.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов.

Вариант C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ в точности соответствует найденной области определения.

Ответ: C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

5. Найдите корни уравнения $\sqrt{2} \sin x - 1 = 0:$

A) $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z;$

B) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z;$

C) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z;$

D) $\frac{\pi}{2} + 3\pi n, n \in Z.$

Для решения уравнения $\sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ необходимо сначала выразить тригонометрическую функцию $\sin x$. Для этого перенесем $-1$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$\sqrt{2}\sin x = 1$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент $\sqrt{2}$:

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для удобства, избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\sin x = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Общая формула для нахождения корней такого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Главное значение арксинуса для этого числа равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Подставляем найденное значение в общую формулу:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

Это выражение является общим решением исходного уравнения. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту B).

Ответ: B) $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$.

6. Решите неравенство $ \text{tg}x \le \sqrt{3} $:

A) $ \left[-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

B) $ \left[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

C) $ \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n\right], n \in \mathbb{Z}; $

D) $ \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{3} + 2\pi n\right), n \in \mathbb{Z}. $

Чтобы решить неравенство $tgx \le \sqrt{3}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции $y = tgx$. Тангенс определен для всех $x$, при которых $cosx \ne 0$. Это означает, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика функции.

2. Решить соответствующее уравнение $tgx = \sqrt{3}$. Главное значение угла, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $x = \frac{\pi}{3}$. Учитывая периодичность функции тангенса, общее решение уравнения имеет вид $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in Z$.

3. Найти решение неравенства на одном периоде. Функция $y = tgx$ является возрастающей на каждом интервале своей области определения, например, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом интервале значение $tgx$ увеличивается от $-\infty$ до $+\infty$.

Нам нужно найти все $x$ из этого интервала, для которых $tgx \le \sqrt{3}$. Поскольку функция возрастает, это условие будет выполняться для всех $x$, которые меньше или равны $\frac{\pi}{3}$, но больше, чем $-\frac{\pi}{2}$ (левая граница интервала, где находится асимптота).

Таким образом, решение на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ представляет собой промежуток $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}]$. Скобка у $-\frac{\pi}{2}$ круглая, так как в этой точке функция не определена. Скобка у $\frac{\pi}{3}$ квадратная, так как неравенство нестрогое ($\le$).

4. Обобщить решение. Так как период функции тангенса равен $\pi$, мы добавляем $\pi n$ к границам полученного промежутка, чтобы охватить все решения:

$x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n]$, где $n \in Z$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) $(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in Z$.

7. Решите уравнение $ctg x = 7$:

A) $-arcctg7 + \pi k, k \in Z;$

B) $arcctg7 + \pi k, k \in Z;$

C) $arcctg7;$

D) $-arcctg7 + \pi k, k \in Z.$

Для решения простейшего тригонометрического уравнения вида $ctg(x) = a$ используется общая формула: $x = arcctg(a) + \pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \Z$).

В данном уравнении $ctg(x) = 7$, значение $a$ равно 7. Подставим это значение в общую формулу решения:

$x = arcctg(7) + \pi k$, где $k \in \Z$.

Это выражение представляет собой общее решение уравнения. Оно означает, что все углы $x$, котангенс которых равен 7, могут быть найдены, взяв главный корень $arcctg(7)$ (который лежит в интервале $(0, \pi)$) и прибавляя к нему целое число раз период функции котангенса, равный $\pi$.

Сравним полученное решение с предложенными вариантами:

А) $-arcctg7 + \pi k, k \in \Z;$ - Неверно, так как перед арккотангенсом стоит знак минус.

B) $arcctg7 + \pi k, k \in \Z;$ - Верно, это в точности совпадает с нашей формулой.

C) $arcctg7;$ - Неверно, это лишь частное решение (главное значение), а не общее решение, так как отсутствует слагаемое $\pi k$, отвечающее за периодичность.

D) $-arcctg7 + \pi k, k \in \Z.$ - Неверно, по той же причине, что и вариант А.

Таким образом, правильным является вариант B).

Ответ: $arcctg7 + \pi k, k \in \Z;$.

8. Найдите абсциссу точки пересечения графика функции $y = \operatorname{tg}x$ с осью $Oy$:

A) 0; B) $\frac{\pi}{2}, n \in Z$; C) $\pi n, n \in Z$; D) $-\frac{\pi}{2}, n \in Z$.

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат (осью $Oy$) необходимо определить значение функции при $x=0$. Это связано с тем, что все точки, лежащие на оси $Oy$, имеют абсциссу (координату $x$), равную нулю.

Рассмотрим данную функцию $y = \tg x$.

Чтобы найти точку пересечения, подставим $x=0$ в уравнение функции:$y = \tg(0)$

Тангенс угла определяется как отношение синуса этого угла к его косинусу:$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$

При $x=0$ получаем:$\tg(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)}$

Известно, что $\sin(0) = 0$ и $\cos(0) = 1$.

Подставим эти значения в формулу:$y = \frac{0}{1} = 0$

Таким образом, график функции $y = \tg x$ пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0, 0)$.

В задаче требуется найти абсциссу этой точки пересечения. Абсцисса – это координата $x$ точки. Для точки $(0, 0)$ абсцисса равна 0.

Ответ: 0

9. Решите уравнение $ \tan \left( x - \frac{\pi}{3} \right) = 1 $:

A) $ \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \text{Z}; $

B) $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \text{Z}; $

C) $ \frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in \text{Z}; $

D) $ \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \text{Z}. $

Дано тригонометрическое уравнение: $tg(x - \frac{\pi}{3}) = 1$.

Для решения уравнений вида $tg(y) = a$ используется общая формула: $y = arctg(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$). Период функции тангенс равен $\pi$.

В нашем уравнении аргумент тангенса $y = x - \frac{\pi}{3}$, а значение $a = 1$. Подставим эти значения в общую формулу:

$x - \frac{\pi}{3} = arctg(1) + \pi k$

Значение арктангенса единицы $arctg(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем это значение в наше уравнение:

$x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Теперь, чтобы найти $x$, необходимо перенести $-\frac{\pi}{3}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi k$

Для сложения дробей $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{\pi}{3}$ приведем их к общему знаменателю 12:

$\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$

$\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}$

Выполним сложение:

$x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + \pi k$

$x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$

Таким образом, решением уравнения является $x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$, где $k \in Z$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ C).

Ответ: C) $\frac{7\pi}{12} + \pi k, k \in Z$.

10. Сколько корней имеет уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$:

A) 4;

B) 3;

C) 2;

D) 1?

Чтобы найти количество корней уравнения $cos(x) = \frac{1}{2}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, нужно сначала найти общее решение этого уравнения, а затем выбрать из него те корни, которые принадлежат указанному отрезку.

Общее решение для уравнения вида $cos(x) = a$ записывается формулой $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in Z$).

В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Значение арккосинуса равно $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, общее решение уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Это решение представляет собой две серии корней:

1) $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

2) $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь выполним отбор корней для каждой серии, подставляя различные целые значения $k$, чтобы найти те, которые удовлетворяют условию $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

При $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.

При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$, что меньше $-\frac{\pi}{2}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$:

При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень также принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$, что больше $\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня: $x_1 = \frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: 2.