Номер 4, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Найдите область определения функции $y=\sqrt{\text{tg}x}$ :

A) $0 < x < \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$;

B) $0 < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, $n \in Z$;

C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in Z$;

D) $0 \le x \le \pi n$, $n \in Z$.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае, функция $y = \sqrt{\tg x}$ определена, если выполняются два условия одновременно:

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к неравенству:

$\tg x \ge 0$

2. Аргумент функции тангенса должен принадлежать области определения тангенса. Функция $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ определена, когда её знаменатель не равен нулю, то есть:

$\cos x \neq 0$

Это условие означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Теперь решим неравенство $\tg x \ge 0$.

Функция тангенса является периодической с периодом $\pi$. Рассмотрим её поведение на промежутке $[0, \pi)$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{2})$, значения $\sin x \ge 0$ и $\cos x > 0$, следовательно, $\tg x \ge 0$.

В точке $x = \frac{\pi}{2}$ тангенс не определён.

На интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, значения $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$, следовательно, $\tg x < 0$.

Таким образом, на основном промежутке $[0, \pi)$ неравенство $\tg x \ge 0$ выполняется для $x \in [0, \frac{\pi}{2})$.

Учитывая периодичность тангенса, мы можем обобщить это решение, прибавив к границам промежутка $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$0 + \pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Это можно записать как:

$\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данное решение уже учитывает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, так как неравенство является строгим для правой границы.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответов.

Вариант C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ в точности соответствует найденной области определения.

Ответ: C) $\pi n \le x < \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$