Номер 1, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$:

А) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z;$

В) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z;$

С) $-\frac{\pi}{3} + \pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z;$

D) $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z.$

Область определения функции $y = \sqrt{\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Таким образом, необходимо решить следующее неравенство:

$\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \ge 0$

Перенесем $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в правую часть неравенства:

$\cos x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы решить это тригонометрическое неравенство, можно использовать единичную окружность. Косинус угла $x$ представляет собой абсциссу (координату по оси x) точки на единичной окружности. Нам нужно найти все углы $x$, для которых абсцисса соответствующей точки больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем значения $x$, для которых выполняется равенство $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На промежутке $[-\pi, \pi]$ решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{\pi}{6}$.

На единичной окружности значения косинуса, которые больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствуют дуге, заключенной между углами $-\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{6}$. Таким образом, решением неравенства на одном основном промежутке будет:

$-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}$

Функция $\cos x$ является периодической с основным периодом $2\pi$. Чтобы получить все решения, необходимо добавить к границам найденного интервала слагаемое $2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Общее решение неравенства имеет вид:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом A).

Ответ: A) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$