Номер 9.6, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (9.6–9.8):

9.6. a) $\cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin x - \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\sin x \cdot \sin\frac{\pi}{5} - \cos x \cdot \cos\frac{\pi}{5} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\sin 5x \cdot \cos 5x \le 0,25$;

г) $\sin^2 4x - \cos^2 4x > -0,5$.

9.6. а) Исходное неравенство: $cos\frac{\pi}{4} \cdot \sin{x} - \sin\frac{\pi}{4} \cdot \cos{x} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выражение в левой части можно преобразовать, поменяв местами слагаемые: $\sin{x} \cdot \cos\frac{\pi}{4} - \cos{x} \cdot \sin\frac{\pi}{4} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Применим формулу синуса разности углов $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$, где $\alpha = x$, $\beta = \frac{\pi}{4}$.

Получаем неравенство: $\sin(x - \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Обозначим $t = x - \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\sin{t} < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является интервал, который на единичной окружности соответствует дуге, лежащей ниже прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Граничные точки этой дуги находятся из уравнения $\sin{t} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in Z$.

Выполним обратную замену: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{4}$:

$-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$\frac{-8\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k < x < \frac{-4\pi + 3\pi}{12} + 2\pi k$

$-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, $k \in Z$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{12} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

9.6. б) Исходное неравенство: $\sin{x} \cdot \sin\frac{\pi}{5} - \cos{x} \cdot \cos\frac{\pi}{5} \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Вынесем знак минус за скобки в левой части: $-(\cos{x} \cdot \cos\frac{\pi}{5} - \sin{x} \cdot \sin\frac{\pi}{5}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Применим формулу косинуса суммы углов $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$, где $\alpha = x$, $\beta = \frac{\pi}{5}$.

Получаем неравенство: $-\cos(x + \frac{\pi}{5}) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\cos(x + \frac{\pi}{5}) \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Обозначим $t = x + \frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\cos{t} \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого неравенства является отрезок, который на единичной окружности соответствует дуге, лежащей левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Граничные точки этой дуги находятся из уравнения $\cos{t} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $t = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Решение для $t$: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in Z$.

Выполним обратную замену: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x + \frac{\pi}{5} \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{5}$:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + 2\pi k$

$\frac{15\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{25\pi - 4\pi}{20} + 2\pi k$

$\frac{11\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi}{20} + 2\pi k$, $k \in Z$.

Ответ: $\frac{11\pi}{20} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi}{20} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

9.6. в) Исходное неравенство: $\sin{5x} \cdot \cos{5x} \le 0,25$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 5x$.

Неравенство принимает вид: $\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5x) \le 0,25$.

$\frac{1}{2}\sin(10x) \le \frac{1}{4}$.

Умножим обе части на 2: $\sin(10x) \le \frac{1}{2}$.

Обозначим $t = 10x$. Неравенство примет вид $\sin{t} \le \frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства является множество, которое на единичной окружности соответствует дуге, лежащей ниже или на прямой $y = \frac{1}{2}$.

Граничные точки этой дуги находятся из уравнения $\sin{t} = \frac{1}{2}$, откуда $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Решение для $t$ можно записать как один промежуток: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$ (то есть от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ следующего оборота).

Выполним обратную замену: $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 10x \le \frac{13\pi}{6} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 10:

$\frac{5\pi}{60} + \frac{2\pi k}{10} \le x \le \frac{13\pi}{60} + \frac{2\pi k}{10}$

$\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{5} \le x \le \frac{13\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{5} \le x \le \frac{13\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in Z$.

9.6. г) Исходное неравенство: $\sin^2{4x} - \cos^2{4x} > -0,5$.

Вынесем знак минус за скобки в левой части: $-(\cos^2{4x} - \sin^2{4x}) > -0,5$.

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, где $\alpha = 4x$.

Неравенство принимает вид: $-\cos(2 \cdot 4x) > -0,5$.

$-\cos(8x) > -\frac{1}{2}$.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $\cos(8x) < \frac{1}{2}$.

Обозначим $t = 8x$. Неравенство примет вид $\cos{t} < \frac{1}{2}$.

Решением этого неравенства является интервал, который на единичной окружности соответствует дуге, лежащей левее прямой $x = \frac{1}{2}$.

Граничные точки этой дуги находятся из уравнения $\cos{t} = \frac{1}{2}$, откуда $t = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ (или $t = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$), где $k \in Z$.

Решение для $t$: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in Z$.

Выполним обратную замену: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 8x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 8:

$\frac{\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{2\pi k}{8}$

$\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in Z$.

Ответ: $\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{4} < x < \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in Z$.