Номер 9.1, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите неравенства (9.1–9.2):

9.1. а) $ \sin x > 0 $; б) $ \cos x \le 0 $; в) $ \operatorname{tg} x < 0 $; г) $ \operatorname{ctg} x > 0 $.

а) $ \sin x > 0 $

Синус угла $x$ — это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Неравенство $ \sin x > 0 $ выполняется для всех точек, у которых ордината положительна. Эти точки расположены в I и II координатных четвертях.

На единичной окружности это соответствует дуге от 0 до $ \pi $ радиан. Так как неравенство строгое, концы интервала (точки 0 и $ \pi $, где $ \sin x = 0 $) не включаются в решение.

Таким образом, для одного оборота решение имеет вид $ 0 < x < \pi $.

Учитывая, что функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, добавив к концам интервала $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

$ 0 + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k $

Ответ: $ x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos x \le 0 $

Косинус угла $x$ — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Неравенство $ \cos x \le 0 $ выполняется для всех точек, у которых абсцисса отрицательна или равна нулю. Эти точки расположены во II и III координатных четвертях, а также на оси ординат.

На единичной окружности это соответствует дуге от $ \pi/2 $ до $ 3\pi/2 $ радиан. Так как неравенство нестрогое, концы интервала (точки $ \pi/2 $ и $ 3\pi/2 $, где $ \cos x = 0 $) включаются в решение.

Таким образом, для одного оборота решение имеет вид $ \pi/2 \le x \le 3\pi/2 $.

Функция косинуса периодична с периодом $ 2\pi $. Добавляя $ 2\pi k $ ($ k \in \mathbb{Z} $) к концам интервала, получаем общее решение.

$ \pi/2 + 2\pi k \le x \le 3\pi/2 + 2\pi k $

Ответ: $ x \in [\pi/2 + 2\pi k, 3\pi/2 + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \tan x \le 0 $

Тангенс определяется как $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $. Неравенство $ \tan x \le 0 $ выполняется, когда $ \sin x $ и $ \cos x $ имеют разные знаки, или когда $ \sin x = 0 $ (что влечет $ \tan x = 0 $). Это происходит во II и IV координатных четвертях.

Функция тангенса периодична с периодом $ \pi $. Рассмотрим один из ее промежутков определения, например, $ (-\pi/2, \pi/2) $. В этом промежутке $ \tan x \le 0 $ при $ x \in (-\pi/2, 0] $. При $ x = -\pi/2 $ тангенс не определен, поэтому эта точка исключается. При $ x = 0 $, $ \tan 0 = 0 $, что удовлетворяет неравенству, поэтому точка включается.

Чтобы получить общее решение, добавим к концам этого интервала период $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ -\pi/2 + \pi k < x \le 0 + \pi k $

Ответ: $ x \in (-\pi/2 + \pi k, \pi k], k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cot x > 0 $

Котангенс определяется как $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $. Неравенство $ \cot x > 0 $ выполняется, когда $ \sin x $ и $ \cos x $ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях.

Функция котангенса периодична с периодом $ \pi $. Рассмотрим один из ее промежутков определения, например, $ (0, \pi) $. В этом промежутке $ \cot x > 0 $ в I четверти, то есть при $ x \in (0, \pi/2) $. Неравенство строгое, поэтому точки, где $ \cot x = 0 $ ($ x = \pi/2 $) или где он не определен ($ x = 0, x = \pi $), не включаются в решение.

Чтобы получить общее решение, добавим к концам интервала $ (0, \pi/2) $ период $ \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ 0 + \pi k < x < \pi/2 + \pi k $

Ответ: $ x \in (\pi k, \pi/2 + \pi k), k \in \mathbb{Z} $.