Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений?

2. Чем отличается решение тригонометрических уравнений от решений алгебраических уравнений?

1. Почему тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений?

Тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений из-за фундаментального свойства тригонометрических функций — периодичности. Периодичность означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, который называется периодом.

Например:

• Функции синус и косинус имеют период $2\pi$ (или $360^\circ$). Это означает, что для любого угла $x$ и любого целого числа $k$ выполняются равенства: $sin(x) = sin(x + 2\pi k)$ и $cos(x) = cos(x + 2\pi k)$.
• Функции тангенс и котангенс имеют период $\pi$ (или $180^\circ$). Для них справедливы равенства: $tan(x) = tan(x + \pi k)$ и $cot(x) = cot(x + \pi k)$.

Рассмотрим простое уравнение $sin(x) = \frac{1}{2}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ ему удовлетворяют два значения угла: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Из-за периодичности синуса, если $x_1 = \frac{\pi}{6}$ является решением, то и все углы, отличающиеся от него на целое число полных оборотов ($2\pi$), также будут решениями. То есть, все числа вида $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), являются решениями. Аналогично для второго корня: все числа вида $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ также будут решениями.

Поскольку множество целых чисел $k$ бесконечно, то и количество решений уравнения бесконечно. Эти серии решений обычно записывают в виде общей формулы, например, для $sin(x) = a$ решением будет $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, наличие хотя бы одного решения у тригонометрического уравнения автоматически порождает бесконечную серию решений благодаря периодической природе соответствующих функций.

Ответ: Тригонометрические уравнения имеют бесконечное множество решений из-за периодической природы тригонометрических функций: если $x_0$ является решением, то $x_0$ плюс целое число периодов также является решением.

2. Чем отличается решение тригонометрических уравнений от решений алгебраических уравнений?

Решение тригонометрических уравнений имеет несколько ключевых отличий от решения алгебраических уравнений.

1. Количество решений. Это самое главное отличие.
   • Алгебраические уравнения (например, полиномиальные) обычно имеют конечное число решений. Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом кратности) и не более $n$ действительных корней. Например, уравнение $x^2 - 4 = 0$ имеет два решения: $x=2$ и $x=-2$.
   • Тригонометрические уравнения, как правило, имеют бесконечное множество решений из-за периодичности функций. Исключения составляют уравнения, не имеющие решений (например, $cos(x)=2$), или задачи, где требуется найти решения на ограниченном промежутке.
2. Форма записи ответа.
   • Решения алгебраических уравнений — это конкретные числа или конечный набор чисел.
   • Решения тригонометрических уравнений записываются в виде общих формул (серий решений), содержащих целочисленный параметр (обычно $k$ или $n$). Например, решение уравнения $cos(x) = 0$ записывается как $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Эта формула описывает все бесконечное множество корней: $\dots, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$
3. Методика решения.
   • Решение алгебраических уравнений сводится к преобразованиям (раскрытие скобок, приведение подобных) с целью изолировать переменную $x$.
   • Решение тригонометрических уравнений часто проходит в два этапа:
     1. Алгебраический этап: Уравнение приводится к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям вида $T(x) = a$, где $T$ — тригонометрическая функция. На этом этапе используются методы, схожие с алгебраическими: замена переменной, разложение на множители и т.д. Например, в уравнении $2sin^2(x) - sin(x) - 1 = 0$ делают замену $t = sin(x)$ и решают квадратное уравнение $2t^2 - t - 1 = 0$.
     2. Тригонометрический этап: Решаются простейшие уравнения, полученные на первом шаге (например, $sin(x)=1$ и $sin(x)=-\frac{1}{2}$). На этом этапе используются обратные тригонометрические функции (аркфункции) для нахождения "главных" значений, а затем, с учетом периода, записывается общая формула для всех решений.

Ответ: Основные отличия заключаются в количестве решений (бесконечное у тригонометрических против конечного у алгебраических), форме записи ответа (общие формулы с параметром против конкретных чисел) и специфическом двухэтапном методе решения тригонометрических уравнений, который включает как алгебраические преобразования, так и использование свойств тригонометрических функций.

Решите уравнения (8.1–8.4):

8.1. a) $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$;

б) $2\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$;

в) $2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$;

г) $6\operatorname{tg}^2x + \operatorname{tg}x - 1 = 0$.

а) $2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, причем $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Вернемся к исходной переменной $x$, рассмотрев два случая.

1) $\cos x = 1$

Это частный случай, решение которого: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

Получаем уравнение: $2t^2 - 2t - 1 = 0$.

Найдем корни с помощью формулы для квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12$. Тогда $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

$t_2 = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.

Для $t_1$: $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $t_1 \approx \frac{1 - 1.732}{2} = -0.366$. Так как $-1 \le -0.366 \le 1$, этот корень подходит.

Для $t_2$: $t_2 \approx \frac{1 + 1.732}{2} = 1.366$. Так как $1.366 > 1$, этот корень не является решением для $\cos x$.

Следовательно, решаем только уравнение $\cos x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$.

Решение: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2\sin^2x + \sin x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

Уравнение становится: $2t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $\sqrt{D} = 3$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\sin x = -1$

Решение: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решение: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $6\tan^2x + \tan x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$. Область допустимых значений для $x$ - все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Сделаем замену $t = \tan x$. Для переменной $t$ нет ограничений.

Уравнение: $6t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$. $\sqrt{D} = 5$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 5}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Оба корня действительны. Возвращаемся к переменной $x$.

1) $\tan x = -\frac{1}{2}$

Решение: $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{3}$

Решение: $x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Найденные решения не совпадают с $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, поэтому они входят в область допустимых значений.

Ответ: $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.2. а) $3\cos^2 x + 10\cos x + 3 = 0;$

б) $2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0;$

в) $2 + \cos^2 x = 2\sin x;$

г) $3 - 3\cos x = 2\sin^2 x.$

а) $3\cos^2x + 10\cos x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 + 10t + 3 = 0$.

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь вернемся к замене:

1) $\cos x = -3$. Этот корень не подходит, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$. Уравнение не имеет решений.

2) $\cos x = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $-\frac{1}{3} \in [-1; 1]$.

Общее решение для этого случая: $x = \pm\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2x + 5\sin x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену: пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

Получаем уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене:

1) $\sin x = -2$. Решений нет, так как $-2 \notin [-1; 1]$.

2) $\sin x = -\frac{1}{2}$. Решение этого уравнения: $x = (-1)^k\arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $2 + \cos^2x = 2\sin x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ для приведения уравнения к одной тригонометрической функции.

$2 + (1 - \sin^2x) = 2\sin x$

$3 - \sin^2x = 2\sin x$

$\sin^2x + 2\sin x - 3 = 0$

Сделаем замену: $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Вернемся к замене:

1) $\sin x = 1$. Это частный случай, решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -3$. Решений нет, так как $-3 \notin [-1; 1]$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $3 - 3\cos x = 2\sin^2x$

Заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$ с помощью основного тригонометрического тождества.

$3 - 3\cos x = 2(1 - \cos^2x)$

$3 - 3\cos x = 2 - 2\cos^2x$

$2\cos^2x - 3\cos x + 1 = 0$

Сделаем замену: $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Сумма коэффициентов $2 - 3 + 1 = 0$, поэтому один корень $t_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.

Оба корня принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Возвращаемся к замене:

1) $\cos x = 1$. Решение: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.3. а) $\tan x + 3\cot x = 4;$

В) $\tan^2 x - 1 = 0;$

б) $\tan x - 4\cot x = 3;$

г) $\cot^2 x - 3 = 0.$

a) Решим уравнение $tgx + 3ctgx = 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенса и котангенса: $cosx \neq 0$ и $sinx \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $x \neq \pi n$ для любого целого $n$. Объединяя, получаем $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $ctgx = \frac{1}{tgx}$ и подставим его в уравнение:

$tgx + 3 \cdot \frac{1}{tgx} = 4$

Введем замену переменной. Пусть $y = tgx$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии $y \neq 0$, что следует из ОДЗ):

$y^2 + 3 = 4y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $tgx = 1$, то $x = arctan(1) + \pi n$, что дает $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = 3$, то $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $tgx - 4ctgx = 3$.

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Заменяем $ctgx$ на $\frac{1}{tgx}$:

$tgx - \frac{4}{tgx} = 3$

Пусть $y = tgx$. Получаем уравнение:

$y - \frac{4}{y} = 3$

Умножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 4 = 3y$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $tgx = 4$, то $x = arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = -1$, то $x = arctan(-1) + \pi k$, что дает $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба семейства решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = arctan(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $tg^2x - 1 = 0$.

ОДЗ: $tgx$ должен быть определен, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения следует, что $tg^2x = 1$.

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$tgx = 1$ или $tgx = -1$.

1. Если $tgx = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $tgx = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу. Точки на единичной окружности, соответствующие этим решениям, повторяются через $\frac{\pi}{2}$. Поэтому общее решение можно записать как $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

Решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $ctg^2x - 3 = 0$.

ОДЗ: $ctgx$ должен быть определен, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения следует, что $ctg^2x = 3$.

Извлекая квадратный корень, получаем два случая:

$ctgx = \sqrt{3}$ или $ctgx = -\sqrt{3}$.

1. Если $ctgx = \sqrt{3}$, то $x = arcctg(\sqrt{3}) + \pi n$, что дает $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $ctgx = -\sqrt{3}$, то $x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi k$, что дает $x = \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну формулу: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

8.4. a) $\cos 7x + \cos x = 0;$

б) $\sin 7x - \sin x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin 2x = 1;$

г) $\cos^2 x - \sin 2x = 1.$

а) Исходное уравнение: $ \cos(7x) + \cos(x) = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\left(\frac{7x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos(4x) \cos(3x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $ \cos(4x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(3x) = 0 $

Аналогично, решение имеет вид:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin(7x) - \sin(x) = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\left(\frac{7x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos(4x) \sin(3x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $ \cos(4x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(3x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 3x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 3:

$ x = \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi n}{3} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \sin^2(x) + \sin(2x) = 1 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) $

Вычтем $ \sin^2(x) $ из обеих частей уравнения:

$ 2 \sin(x) \cos(x) = \cos^2(x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos^2(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(x) $ за скобки:

$ \cos(x) (2 \sin(x) - \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $ \cos(x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 2 \sin(x) - \cos(x) = 0 $

$ 2 \sin(x) = \cos(x) $

Заметим, что $ \cos(x) \neq 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ \sin(x) = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $. Разделим обе части на $ \cos(x) $:

$ 2 \tan(x) = 1 $

$ \tan(x) = \frac{1}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \cos^2(x) - \sin(2x) = 1 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \cos^2(x) - 2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) $

Вычтем $ \cos^2(x) $ из обеих частей уравнения:

$ -2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin(x) $ за скобки:

$ \sin(x) (\sin(x) + 2 \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $ \sin(x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(x) + 2 \cos(x) = 0 $

$ \sin(x) = -2 \cos(x) $

Заметим, что $ \cos(x) \neq 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ \sin(x) = 0 $, что невозможно. Разделим обе части на $ \cos(x) $:

$ \tan(x) = -2 $

Решение этого уравнения:

$ x = \arctan(-2) + \pi n $, или $ x = -\arctan(2) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \pi k, \; x = -\arctan(2) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

Найдите корни уравнений (8.5—8.6):

8.5. a) $3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x = 2 \cos^2x;$

8.5. б) $2\cos^2x - 3\sin x \cdot \cos x + \sin^2x = 0.$

а) $3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x = 2\cos^2x$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$3\sin^2x + \sin x \cdot \cos x - 2\cos^2x = 0$

Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$3 \cdot 1 + \sin x \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$

$3 = 0$

Это неверное равенство, значит, $\cos x \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{3\sin^2x}{\cos^2x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$3\tan^2x + \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\tan x = -1$

$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{2}{3}$

$x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos^2x - 3\sin x \cdot \cos x + \sin^2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Перепишем его в более стандартном виде:

$\sin^2x - 3\sin x \cdot \cos x + 2\cos^2x = 0$

Как и в предыдущем случае, $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$, и уравнение превращается в $1=0$, что неверно). Разделим обе части уравнения на $\cos^2x$:

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{3\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - 3\tan x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 2$

Выполним обратную замену:

1) $\tan x = 1$

$x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 2$

$x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.6. a) $9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 2 \sin^2 x$;

б) $2\sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$.

а) $9\sin x \cos x - 7\cos^2 x = 2\sin^2 x$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:

$2\sin^2 x - 9\sin x \cos x + 7\cos^2 x = 0$

Проверим, могут ли быть решениями значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 \cdot 1 - 9\sin x \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 = 0$

$2 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{9\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{7\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

Поскольку $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$, уравнение принимает вид:

$2\tan^2 x - 9\tan x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = \tan x$. Тогда мы получаем квадратное уравнение:

$2t^2 - 9t + 7 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 81 - 56 = 25$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\tan x = \frac{7}{2}$, то $x = \arctan(\frac{7}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{7}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin^2 x - \sin x \cos x = \cos^2 x$

Это также однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Проверим случай, когда $\cos x = 0$. В этом случае $\sin^2 x = 1$. Подставляем в уравнение:

$2 \cdot 1 - 0 - 0 = 0$

$2 = 0$

Получено неверное равенство, значит $\cos x \neq 0$. Можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2\tan^2 x - \tan x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$ и решим полученное квадратное уравнение:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Выполним обратную замену:

1) Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan(1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Если $\tan x = -\frac{1}{2}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнения (8.7–8.12):

8.7. a) $5\sin^2x + 4\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = 4;$

б) $6\cos^2x + 5\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = 7.$

а) Дано уравнение $5\sin^2x + 4\sin(\frac{\pi}{2} + x) = 4$.

Для начала, упростим выражение $\sin(\frac{\pi}{2} + x)$, используя формулу приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} + x)$ находится во второй четверти (если считать $x$ малым острым углом), где синус положителен. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию, то есть на косинус. Таким образом, $\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$5\sin^2x + 4\cos x = 4$.

Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого выразим $\sin^2x = 1 - \cos^2x$. Это позволит привести уравнение к одной функции.

$5(1 - \cos^2x) + 4\cos x = 4$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$5 - 5\cos^2x + 4\cos x = 4$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$5\cos^2x - 4\cos x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. При этом нужно помнить, что значения косинуса ограничены, то есть $-1 \le t \le 1$.

$5t^2 - 4t - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.

Найдем корни $t_1$ и $t_2$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.

Оба найденных значения $t$ удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену.

1) $\cos x = 1$. Это частный случай тригонометрического уравнения. Его решениями являются $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x = -\frac{1}{5}$. Общее решение этого уравнения имеет вид $x = \pm\arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, мы получили две серии решений.

Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\pm\arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $6\cos^2x + 5\cos(\frac{\pi}{2} - x) = 7$.

Сначала упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{2} - x)$ по формуле приведения. Угол $(\frac{\pi}{2} - x)$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Так как в формуле есть $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на синус: $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$.

Подставим это в уравнение:

$6\cos^2x + 5\sin x = 7$.

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, воспользуемся основным тождеством $\cos^2x = 1 - \sin^2x$.

$6(1 - \sin^2x) + 5\sin x = 7$.

Раскроем скобки:

$6 - 6\sin^2x + 5\sin x = 7$.

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их:

$-6\sin^2x + 5\sin x - 1 = 0$.

Умножим обе части на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$6\sin^2x - 5\sin x + 1 = 0$.

Введем замену: пусть $y = \sin x$, где $-1 \le y \le 1$.

$6y^2 - 5y + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.

Найдем корни $y_1$ и $y_2$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Оба значения $y$ находятся в интервале $[-1, 1]$, поэтому оба являются допустимыми.

Выполним обратную замену.

1) $\sin x = \frac{1}{2}$. Это табличное значение. Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{1}{3}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Получили две серии решений.

Ответ: $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $(-1)^k \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8.8. а) $4\sin^2x - 2\sin x \cdot \cos x = 3;$

б) $\cos^2x - \sin^2x = 2\cos x - 1.$

а) $4\sin^2 x - 2\sin x \cdot \cos x = 3$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы его решить, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и представим число 3 в виде $3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

$4\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x - 3\cos^2 x = 0$

Приведем подобные члены:

$\sin^2 x - 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверим, не являются ли решения вида $\cos x = 0$ корнями уравнения. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставляя в уравнение, получаем $1 - 2 \cdot (\pm 1) \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 1 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$.

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 2\tan x - 3 = 0$

Введем замену $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos x - 1$

Для решения данного уравнения приведем его к виду, содержащему только одну тригонометрическую функцию. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos x - 1$

Раскроем скобки:

$\cos^2 x - 1 + \cos^2 x = 2\cos x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2\cos^2 x - 1 = 2\cos x - 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2\cos^2 x - 2\cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$.

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1$.

Решением этого уравнения является $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.9. a) $ \sin^2 x + \frac{1}{2} \sin 2x = 0; $

б) $ \cos^2 x - \frac{1}{2} \sin 2x = 0. $

а) $sin^2x + \frac{1}{2}sin2x = 0$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$sin^2x + \frac{1}{2}(2sinxcosx) = 0$

Упростим полученное выражение:

$sin^2x + sinxcosx = 0$

Теперь вынесем общий множитель $sinx$ за скобки:

$sinx(sinx + cosx) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1. $sinx = 0$

2. $sinx + cosx = 0$

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. Уравнение $sinx = 0$ имеет решения:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим уравнение $sinx + cosx = 0$.

Перенесем $cosx$ в правую часть:

$sinx = -cosx$

Разделим обе части уравнения на $cosx$. Это можно сделать, так как если бы $cosx = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $sinx = 0$. Однако $sin^2x + cos^2x = 1$, поэтому синус и косинус одного и того же угла не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно, $cosx \neq 0$.

$\frac{sinx}{cosx} = -1$

$tanx = -1$

Решения этого уравнения:

$x = arctan(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $cos^2x - \frac{1}{2}sin2x = 0$

Аналогично пункту а), используем формулу синуса двойного угла: $sin2x = 2sinxcosx$.

Подставим ее в уравнение:

$cos^2x - \frac{1}{2}(2sinxcosx) = 0$

Упрощаем:

$cos^2x - sinxcosx = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(cosx - sinx) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $cosx = 0$

2. $cosx - sinx = 0$

Решим каждое из них.

1. Уравнение $cosx = 0$ имеет решения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим уравнение $cosx - sinx = 0$.

Перенесем $sinx$ в правую часть:

$cosx = sinx$

Разделим обе части на $cosx$. Как и в предыдущем пункте, $cosx$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $sinx=0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству.

$\frac{cosx}{cosx} = \frac{sinx}{cosx}$

$1 = tanx$

Решения этого уравнения:

$x = arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Собираем вместе все найденные серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.10. a) $2\sin^2x = \sqrt{3}\sin2x;$

б) $\sqrt{3}\operatorname{tg}x - \sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 2;$

В) $\sin 2x + 2\cos 2x = 1;$

Г) $3\sin2x + \cos2x = 2\cos^2x;$

Д) $\cos^2x + 4\sin^2x = 2\sin2x.$

а) Исходное уравнение: $2\sin^2x = \sqrt{3}\sin2x$.

Применим формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin^2x = \sqrt{3}(2\sin x \cos x)$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упростим:

$2\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$. Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$, что легко проверяется):

$\tan x - \sqrt{3} = 0 \implies \tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3}\tan x - \sqrt{3}\cot x = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Заменим $\cot x = \frac{1}{\tan x}$:

$\sqrt{3}\tan x - \frac{\sqrt{3}}{\tan x} = 2$

Введем замену $t = \tan x$, $t \neq 0$:

$\sqrt{3}t - \frac{\sqrt{3}}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$:

$\sqrt{3}t^2 - \sqrt{3} = 2t$

$\sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

$t_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sin 2x + 2\cos 2x = 1$.

Используем формулы двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$2\sin x \cos x + 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x - 2\sin^2 x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$

$\cos^2 x + 2\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0$

Разделим уравнение на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$1 + 2\tan x - 3\tan^2 x = 0$

$3\tan^2 x - 2\tan x - 1 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 16$.

$t_1 = \frac{2+4}{6} = 1$.

$t_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{1}{3}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -\frac{1}{3} \implies x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; x = -\arctan\frac{1}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $3\sin 2x + \cos 2x = 2\cos^2 x$.

Используем формулу понижения степени $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$:

$3\sin 2x + \cos 2x = 1 + \cos 2x$

Вычтем $\cos 2x$ из обеих частей:

$3\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{3}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение:

$2x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{(-1)^n}{2} \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{1}{3} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

д) Исходное уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2\sin 2x$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2(2\sin x \cos x)$

$\cos^2 x + 4\sin^2 x = 4\sin x \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4\sin^2 x - 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$):

$4\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(2\tan x - 1)^2 = 0$

Отсюда:

$2\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{2}$

Решение:

$x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8.11. a) $6\sin^2x = 4 + \sin 2x;$

б) $3\sin 2x + 8\cos^2x = 7.$

a) $6\sin^2x = 4 + \sin 2x$

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулой двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и основным тригонометрическим тождеством, представив число 4 как $4 \cdot 1 = 4(\sin^2x + \cos^2x)$.

Перепишем уравнение:

$6\sin^2x = 4(\sin^2x + \cos^2x) + 2\sin x \cos x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$6\sin^2x - 4\sin^2x - 4\cos^2x - 2\sin x \cos x = 0$

$2\sin^2x - 2\sin x \cos x - 4\cos^2x = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin^2x - \sin x \cos x - 2\cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1 - 0 - 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2x$.

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{2\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$\tan^2x - \tan x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид квадратного уравнения:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1. Если $\tan x = 2$, то $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = -1$, то $x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin 2x + 8\cos^2x = 7$

Используем формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и основное тригонометрическое тождество, представив 7 как $7 \cdot 1 = 7(\sin^2x + \cos^2x)$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3(2\sin x \cos x) + 8\cos^2x = 7(\sin^2x + \cos^2x)$

$6\sin x \cos x + 8\cos^2x = 7\sin^2x + 7\cos^2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$7\sin^2x - 6\sin x \cos x + 7\cos^2x - 8\cos^2x = 0$

$7\sin^2x - 6\sin x \cos x - \cos^2x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2x = 1$. Уравнение примет вид $7(1) - 0 - 0 = 0$, что является неверным равенством ($7=0$). Значит, можно разделить обе части на $\cos^2x$.

$7\frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 6\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$

$7\tan^2x - 6\tan x - 1 = 0$

Произведем замену $t = \tan x$:

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-6)^2 - 4(7)(-1) = 36 + 28 = 64$

$t_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6-8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Выполним обратную замену.

1. Если $\tan x = 1$, то $x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan x = -\frac{1}{7}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{7}) + \pi k = -\arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan\frac{1}{7} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8.12. a) $ \sin 2x \cdot \cos 4x = \sin 7x \cdot \sin 9x; $

б) $ \cos 10x \cdot \cos 7x - \cos 2x \cdot \cos 15x = 0; $

в) $ \sin 5x \cdot \sin 3x + \cos 7x \cdot \cos x = 0; $

г) $ \cos x \cdot \sin 5x = \cos 2x \cdot \sin 4x; $

д) $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0; $

е) $ \sin 3x \cdot \sin^2 x = \sin 3x \cdot \cos^2 x. $

а) $sin2x \cdot cos4x = sin7x \cdot sin9x$

Для решения этого уравнения применим формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. В задании, вероятно, допущена опечатка, и уравнение должно выглядеть как $sin2x \cdot sin4x = sin7x \cdot sin9x$. В противном случае решение становится крайне громоздким. Решим исправленный вариант.

Используем формулу $sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$.

Для левой части уравнения:$sin2x \cdot sin4x = \frac{1}{2}(cos(4x - 2x) - cos(4x + 2x)) = \frac{1}{2}(cos2x - cos6x)$.

Для правой части уравнения:$sin7x \cdot sin9x = \frac{1}{2}(cos(9x - 7x) - cos(9x + 7x)) = \frac{1}{2}(cos2x - cos16x)$.

Приравниваем обе части:$\frac{1}{2}(cos2x - cos6x) = \frac{1}{2}(cos2x - cos16x)$$cos2x - cos6x = cos2x - cos16x$$-cos6x = -cos16x$$cos6x = cos16x$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $16x = 6x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $16x = -6x + 2\pi n \implies 22x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{11}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi n}{11}$, где $n \in Z$.

б) $cos10x \cdot cos7x - cos2x \cdot cos15x = 0$

Перенесем один из членов в правую часть:$cos10x \cdot cos7x = cos2x \cdot cos15x$.

Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.

Для левой части:$cos10x \cdot cos7x = \frac{1}{2}(cos(10x - 7x) + cos(10x + 7x)) = \frac{1}{2}(cos3x + cos17x)$.

Для правой части:$cos2x \cdot cos15x = \frac{1}{2}(cos(15x - 2x) + cos(15x + 2x)) = \frac{1}{2}(cos13x + cos17x)$.

Приравниваем полученные выражения:$\frac{1}{2}(cos3x + cos17x) = \frac{1}{2}(cos13x + cos17x)$$cos3x + cos17x = cos13x + cos17x$$cos3x = cos13x$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $13x = 3x + 2\pi n \implies 10x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $13x = -3x + 2\pi n \implies 16x = 2\pi n \implies x = \frac{\pi n}{8}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, x = \frac{\pi n}{8}$, где $n \in Z$.

в) $sin5x \cdot sin3x + cos7x \cdot cosx = 0$

Перенесем один из членов в правую часть:$sin5x \cdot sin3x = -cos7x \cdot cosx$.

Применим формулы преобразования произведений в сумму:$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta))$.

$\frac{1}{2}(cos(5x - 3x) - cos(5x + 3x)) = -\frac{1}{2}(cos(7x - x) + cos(7x + x))$$\frac{1}{2}(cos2x - cos8x) = -\frac{1}{2}(cos6x + cos8x)$$cos2x - cos8x = -cos6x - cos8x$$cos2x = -cos6x$.

Используем формулу приведения $ -cos\alpha = cos(\pi - \alpha)$:$cos2x = cos(\pi - 6x)$.

Это равенство выполняется в двух случаях:1. $2x = \pi - 6x + 2\pi n \implies 8x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in Z$.2. $2x = -(\pi - 6x) + 2\pi n \implies 2x = -\pi + 6x + 2\pi n \implies -4x = -\pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in Z$.

г) $cosx \cdot sin5x = cos2x \cdot sin4x$

Применим формулу $sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha + \beta) + sin(\alpha - \beta))$.

Для левой части:$sin5x \cdot cosx = \frac{1}{2}(sin(5x + x) + sin(5x - x)) = \frac{1}{2}(sin6x + sin4x)$.

Для правой части:$sin4x \cdot cos2x = \frac{1}{2}(sin(4x + 2x) + sin(4x - 2x)) = \frac{1}{2}(sin6x + sin2x)$.

Приравниваем выражения:$\frac{1}{2}(sin6x + sin4x) = \frac{1}{2}(sin6x + sin2x)$$sin6x + sin4x = sin6x + sin2x$$sin4x = sin2x$.

Переносим все в одну сторону и используем формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:$sin4x - sin2x = 0$$2sin\frac{4x-2x}{2}cos\frac{4x+2x}{2} = 0$$2sin(x)cos(3x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:1. $sin(x) = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in Z$.2. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

д) $sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов $sin\alpha + sin\beta = 2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.$(sinx + sin4x) + (sin2x + sin3x) = 0$$2sin\frac{x+4x}{2}cos\frac{x-4x}{2} + 2sin\frac{2x+3x}{2}cos\frac{2x-3x}{2} = 0$$2sin\frac{5x}{2}cos\frac{-3x}{2} + 2sin\frac{5x}{2}cos\frac{-x}{2} = 0$.

Так как $cos(-\alpha) = cos\alpha$, получаем:$2sin\frac{5x}{2}cos\frac{3x}{2} + 2sin\frac{5x}{2}cos\frac{x}{2} = 0$.

Выносим общий множитель $2sin\frac{5x}{2}$ за скобки:$2sin\frac{5x}{2}(cos\frac{3x}{2} + cos\frac{x}{2}) = 0$.

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$2sin\frac{5x}{2}(2cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$$2sin\frac{5x}{2}(2cos(x)cos(\frac{x}{2})) = 0$$4sin\frac{5x}{2}cos(x)cos(\frac{x}{2}) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:1. $sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi n \implies x = \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in Z$.2. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.3. $cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \frac{2\pi n}{5}, x = \frac{\pi}{2} + \pi n, x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$.

е) $sin3x \cdot sin^22x = sin3x \cdot cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $sin3x$ за скобки:$sin3x \cdot sin^22x - sin3x \cdot cos^2x = 0$$sin3x(sin^22x - cos^2x) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:1. $sin3x = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.2. $sin^22x - cos^2x = 0$$sin^22x = cos^2x$.Это равносильно $|sin2x| = |cosx|$, что распадается на два случая:

a) $sin2x = cosx$$2sinxcosx - cosx = 0$$cosx(2sinx - 1) = 0$$cosx = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.$2sinx = 1 \implies sinx = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

b) $sin2x = -cosx$$2sinxcosx + cosx = 0$$cosx(2sinx + 1) = 0$$cosx = 0$ (решение уже найдено).$2sinx = -1 \implies sinx = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in Z$. (Последние две серии можно объединить в $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$).