Страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7.11. a) $\sin 6x - \sin 4x = 0;$

б) $\cos 5x + \cos 3x = 0.$

а)

Дано тригонометрическое уравнение:

$sin(6x) - sin(4x) = 0$

Для его решения применим формулу преобразования разности синусов в произведение (формулу понижения степени):

$sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha - \beta}{2})cos(\frac{\alpha + \beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 6x$ и $\beta = 4x$. Подставим эти значения в формулу:

$2sin(\frac{6x - 4x}{2})cos(\frac{6x + 4x}{2}) = 0$

$2sin(\frac{2x}{2})cos(\frac{10x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(5x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух более простых уравнений:

1. $sin(x) = 0$

2. $cos(5x) = 0$

Решим каждое из этих уравнений.

1. Решение уравнения $sin(x) = 0$ является частным случаем решения тригонометрических уравнений. Его корни:

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

2. Решение уравнения $cos(5x) = 0$ также является частным случаем. Его корни определяются по формуле:

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Общий ответ является объединением решений обоих уравнений.

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение:

$cos(5x) + cos(3x) = 0$

Для его решения применим формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

$cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha + \beta}{2})cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Подставим эти значения в формулу:

$2cos(\frac{5x + 3x}{2})cos(\frac{5x - 3x}{2}) = 0$

$2cos(\frac{8x}{2})cos(\frac{2x}{2}) = 0$

$2cos(4x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1. $cos(4x) = 0$

2. $cos(x) = 0$

Решим каждое из этих уравнений.

1. Решение уравнения $cos(4x) = 0$ — это частный случай. Корни определяются по формуле:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Решение уравнения $cos(x) = 0$ также является частным случаем. Его корни:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k — любое целое число).

Эти две серии решений не пересекаются и не поглощают друг друга, поэтому в ответе указываем обе.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

7.12. a) $ \cos 7x - \cos 5x = 0; $

б) $ \sin 9x - \sin 13x = 0. $

а) Для решения уравнения $cos7x - cos5x = 0$ воспользуемся формулой разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$:

$-2\sin\frac{7x+5x}{2}\sin\frac{7x-5x}{2} = 0$

$-2\sin\frac{12x}{2}\sin\frac{2x}{2} = 0$

$-2\sin(6x)\sin(x) = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$\sin(6x)\sin(x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $\sin(6x) = 0$

$6x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа)

$x = \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(x) = 0$

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi n$) является подмножеством первой серии решений ($x = \frac{\pi k}{6}$). Например, если в первой формуле взять $k=6n$, то получим $x = \frac{\pi (6n)}{6} = \pi n$. Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения уравнения $sin9x - sin13x = 0$ воспользуемся формулой разности синусов: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $\alpha = 9x$ и $\beta = 13x$:

$2\sin\frac{9x-13x}{2}\cos\frac{9x+13x}{2} = 0$

$2\sin\frac{-4x}{2}\cos\frac{22x}{2} = 0$

$2\sin(-2x)\cos(11x) = 0$

Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-A) = -\sin(A)$), получаем:

$-2\sin(2x)\cos(11x) = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$\sin(2x)\cos(11x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:

1) $\sin(2x) = 0$

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(11x) = 0$

$11x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений не пересекаются, поэтому в ответе указываем обе.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{22} + \frac{\pi n}{11}, n \in \mathbb{Z}$.