Номер 8.4, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8.4. a) $\cos 7x + \cos x = 0;$

б) $\sin 7x - \sin x = 0;$

в) $\sin^2 x + \sin 2x = 1;$

г) $\cos^2 x - \sin 2x = 1.$

а) Исходное уравнение: $ \cos(7x) + \cos(x) = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos(\alpha) + \cos(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\left(\frac{7x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos(4x) \cos(3x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $ \cos(4x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 4:

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos(3x) = 0 $

Аналогично, решение имеет вид:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 3:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

б) Исходное уравнение: $ \sin(7x) - \sin(x) = 0 $.

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $.

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $ \alpha = 7x $ и $ \beta = x $:

$ 2 \cos\left(\frac{7x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{7x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos(4x) \sin(3x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $ \cos(4x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(3x) = 0 $

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 3x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Разделим обе части на 3:

$ x = \frac{\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \; x = \frac{\pi n}{3} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

в) Исходное уравнение: $ \sin^2(x) + \sin(2x) = 1 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) $

Вычтем $ \sin^2(x) $ из обеих частей уравнения:

$ 2 \sin(x) \cos(x) = \cos^2(x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos^2(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos(x) $ за скобки:

$ \cos(x) (2 \sin(x) - \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $ \cos(x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 2 \sin(x) - \cos(x) = 0 $

$ 2 \sin(x) = \cos(x) $

Заметим, что $ \cos(x) \neq 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ \sin(x) = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $. Разделим обе части на $ \cos(x) $:

$ 2 \tan(x) = 1 $

$ \tan(x) = \frac{1}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

г) Исходное уравнение: $ \cos^2(x) - \sin(2x) = 1 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $ и основное тригонометрическое тождество $ 1 = \sin^2(x) + \cos^2(x) $.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$ \cos^2(x) - 2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) $

Вычтем $ \cos^2(x) $ из обеих частей уравнения:

$ -2 \sin(x) \cos(x) = \sin^2(x) $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin^2(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = 0 $

Вынесем общий множитель $ \sin(x) $ за скобки:

$ \sin(x) (\sin(x) + 2 \cos(x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1) $ \sin(x) = 0 $

Решение этого уравнения:

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(x) + 2 \cos(x) = 0 $

$ \sin(x) = -2 \cos(x) $

Заметим, что $ \cos(x) \neq 0 $, иначе из уравнения следовало бы, что $ \sin(x) = 0 $, что невозможно. Разделим обе части на $ \cos(x) $:

$ \tan(x) = -2 $

Решение этого уравнения:

$ x = \arctan(-2) + \pi n $, или $ x = -\arctan(2) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \pi k, \; x = -\arctan(2) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.