Номер 12.1, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12.1. Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to x_0$:

а) $f(x) = 3x + 2$, $x \to 2$;

б) $f(x) = 4x^3 - 3x$, $x \to -1$;

в) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$, $x \to -3$;

г) $f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$, $x \to 2$.

а) Функция $f(x) = 3x + 2$ является непрерывной на всей числовой прямой, так как это линейная функция (многочлен первой степени). Для нахождения предела такой функции при $x$, стремящемся к конечному числу, достаточно подставить это число в выражение функции.

$ \lim_{x \to 2} (3x + 2) = 3 \cdot 2 + 2 = 6 + 2 = 8. $

Ответ: 8.

б) Функция $f(x) = 4x^3 - 3x$ является многочленом, который непрерывен на всей числовой прямой. Следовательно, для вычисления предела при $x \rightarrow -1$ мы можем использовать прямую подстановку.

$ \lim_{x \to -1} (4x^3 - 3x) = 4(-1)^3 - 3(-1) = 4(-1) + 3 = -4 + 3 = -1. $

Ответ: -1.

в) Необходимо найти предел функции $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ при $x \rightarrow -3$. При попытке прямой подстановки значения $x = -3$ в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $(-3)^2 - 9 = 0$ и $-3 + 3 = 0$. Для раскрытия этой неопределенности необходимо преобразовать выражение. Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Теперь предел можно переписать в виде:

$ \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} $.

Поскольку $x$ стремится к -3, но не равен -3, мы можем сократить общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе.

$ \lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6. $

Ответ: -6.

г) Необходимо найти предел функции $f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 4}$ при $x \rightarrow 2$. Прямая подстановка $x = 2$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$, так как $2 - 2 = 0$ и $2^2 - 4 = 0$. Для устранения неопределенности разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Запишем предел с разложенным знаменателем:

$ \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x-2)(x+2)} $.

Так как $x$ стремится к 2, но не равен 2, мы можем сократить дробь на $(x-2)$.

$ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}. $

Ответ: $\frac{1}{4}$.