Номер 23.3, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

23.3. Дана арифметическая прогрессия из четырех членов, причем значения средних членов равны 8 и 12. Составьте закон распределения случайной величины, если вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов.

Пусть данная арифметическая прогрессия $a_n$ состоит из четырех членов: $a_1, a_2, a_3, a_4$. Эти члены являются возможными значениями случайной величины $X$.

По условию задачи, значения средних членов равны $a_2 = 8$ и $a_3 = 12$. Разность арифметической прогрессии $d$ равна разнице между любыми двумя последовательными членами, поэтому:

$d = a_3 - a_2 = 12 - 8 = 4$.

Зная разность прогрессии, мы можем найти первый (крайний) член $a_1$ и четвертый (крайний) член $a_4$:

$a_1 = a_2 - d = 8 - 4 = 4$.

$a_4 = a_3 + d = 12 + 4 = 16$.

Таким образом, возможные значения случайной величины $X$ — это члены прогрессии: $x_1=4$, $x_2=8$, $x_3=12$ и $x_4=16$.

Теперь найдем соответствующие им вероятности $p_1, p_2, p_3, p_4$. По условию, «вероятность средних членов в четыре раза больше вероятностей крайних членов». Будем считать, что вероятности крайних членов равны между собой ($p_1 = p_4$), и вероятности средних членов также равны между собой ($p_2 = p_3$). Тогда условие можно записать как $p_2 = 4p_1$. Обозначим вероятность крайнего члена как $p$, то есть $p_1 = p_4 = p$. Тогда вероятность среднего члена будет $4p$, то есть $p_2 = p_3 = 4p$.

Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1$.

Подставим наши выражения для вероятностей в это уравнение:

$p + 4p + 4p + p = 1$

$10p = 1$

$p = \frac{1}{10} = 0,1$.

Теперь мы можем вычислить все вероятности:

$p_1 = p_4 = p = 0,1$.

$p_2 = p_3 = 4p = 4 \cdot 0,1 = 0,4$.

Для проверки сложим полученные вероятности: $0,1 + 0,4 + 0,4 + 0,1 = 1$. Сумма равна 1, следовательно, вероятности найдены верно.

Ответ:Закон распределения случайной величины $X$ имеет вид таблицы: