Вопросы, страница 135 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Какое свойство случайной величины определяют с помощью математического ожидания?

2. Какой числовой характеристике случайной величины соответствует среднее арифметическое?

3. Как объяснить геометрическую интерпретацию дисперсии и среднего квадратичного отклонения?

4. Необходимы ли другие данные, кроме закона распределения, для вычисления $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$? Ответ обоснуйте.

1. Какое свойство случайной величины определяют с помощью математического ожидания?

Математическое ожидание, обозначаемое как $M(X)$ или $E(X)$, является одной из важнейших числовых характеристик случайной величины. Оно определяет центральную тенденцию или среднее значение распределения случайной величины. По сути, это значение, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины с учетом их вероятностей. Если бы мы проводили эксперимент, связанный с данной случайной величиной, многократно и вычисляли среднее арифметическое всех полученных результатов, то это среднее стремилось бы к математическому ожиданию. Для дискретной случайной величины $X$, принимающей значения $x_1, x_2, \ldots, x_n$ с вероятностями $p_1, p_2, \ldots, p_n$ соответственно, математическое ожидание вычисляется как взвешенная сумма всех ее возможных значений, где весами выступают их вероятности: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$. Таким образом, математическое ожидание указывает на "центр тяжести" распределения вероятностей.

Ответ: Математическое ожидание определяет центральную тенденцию, то есть среднее значение, вокруг которого концентрируются значения случайной величины.

2. Какой числовой характеристике случайной величины соответствует среднее арифметическое?

Среднее арифметическое, вычисленное по результатам наблюдений (выборке), является статистической оценкой математического ожидания случайной величины. Теоретической основой этой связи служит закон больших чисел. Согласно этому закону, при увеличении числа испытаний (размера выборки $n$) среднее арифметическое результатов наблюдений $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ сходится по вероятности к математическому ожиданию $M(X)$ этой случайной величины. Другими словами, среднее арифметическое – это эмпирический (полученный из опыта) аналог теоретической характеристики $M(X)$. На практике, когда истинный закон распределения неизвестен, среднее арифметическое выборки используется как наилучшая оценка математического ожидания.

Ответ: Среднее арифметическое выборки соответствует математическому ожиданию случайной величины, являясь его статистической оценкой.

3. Как объяснить геометрическую интерпретацию дисперсии и среднего квадратичного отклонения?

Геометрически, значения случайной величины можно представить как точки на числовой оси. Математическое ожидание $M(X)$ будет "центром" или "точкой равновесия" для этих точек с учетом их вероятностей.

Дисперсия, $D(X) = M[(X - M(X))^2]$, представляет собой математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения. Геометрически это можно интерпретировать как средний квадрат расстояния от точек (значений случайной величины) до их центра $M(X)$. Использование квадрата отклонения приводит к двум эффектам: во-первых, все отклонения становятся неотрицательными; во-вторых, большим отклонениям придается больший вес. Однако из-за возведения в квадрат, размерность дисперсии становится квадратом размерности исходной величины (например, метры в квадрате, если величина измерялась в метрах), что затрудняет ее наглядную интерпретацию на той же числовой оси.

Среднее квадратичное отклонение, $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$, является корнем из дисперсии. Его главное преимущество в том, что оно имеет ту же размерность, что и сама случайная величина. Геометрически $\sigma(X)$ можно интерпретировать как "типичное" или среднее расстояние, на которое значения случайной величины отклоняются от своего центра $M(X)$. Оно характеризует "ширину" или "разброс" распределения. Малое значение $\sigma(X)$ означает, что значения сгруппированы очень близко к среднему, а большое значение — что они сильно рассеяны. Таким образом, $\sigma(X)$ можно рассматривать как характерный "радиус" разброса значений вокруг центра распределения.

Ответ: Дисперсия — это средний квадрат разброса значений случайной величины вокруг ее центра (математического ожидания). Среднее квадратичное отклонение — это характерная величина этого разброса, измеряемая в тех же единицах, что и сама случайная величина, и геометрически представляющая собой "средний радиус" рассеяния значений вокруг центра.

4. Необходимы ли другие данные, кроме закона распределения, для вычисления M(X), D(X), σ(X)? Ответ обоснуйте.

Нет, для вычисления математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$ никаких других данных, кроме закона распределения случайной величины, не требуется.

Обоснование: Закон распределения случайной величины полностью ее характеризует.

Для дискретной случайной величины закон распределения задается перечнем всех ее возможных значений $x_i$ и соответствующих им вероятностей $p_i$. Все необходимые характеристики вычисляются напрямую из этих данных:

• Математическое ожидание: $M(X) = \sum x_i p_i$

• Дисперсия: $D(X) = M[(X-M(X))^2] = \sum (x_i - M(X))^2 p_i$

• Среднее квадратичное отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Как видно из формул, для расчетов используются только значения $x_i$ и $p_i$, которые и составляют закон распределения.

Для непрерывной случайной величины закон распределения задается функцией плотности вероятности $f(x)$. Характеристики также вычисляются исключительно на основе этой функции:

• Математическое ожидание: $M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

• Дисперсия: $D(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x-M(X))^2 f(x) dx$

• Среднее квадратичное отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Таким образом, знание закона распределения является достаточным условием для нахождения этих числовых характеристик.

Ответ: Нет, не необходимы. Закон распределения (совокупность значений и их вероятностей или функция плотности) содержит всю информацию, требуемую для вычисления $M(X)$, $D(X)$ и $\sigma(X)$ по их определяющим формулам.