Номер 24.4, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.4 Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы 31:

Таблица 31

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Заполните неполный закон распределения случайной величины, заданный в виде таблицы 31

Для того чтобы закон распределения дискретной случайной величины был полным, сумма всех вероятностей $p_i$ ее возможных значений $x_i$ должна быть равна единице. Это основное свойство закона распределения:$ \sum_{i=1}^{n} p_i = 1 $

В представленной таблице даны значения случайной величины $X$: 3, 21, 30, 50. Соответствующие им вероятности $P$: 0,25; ?; 0,25; 0,25. Обозначим неизвестную вероятность, соответствующую значению $X=21$, как $p_2$.

Используя свойство о сумме вероятностей, составим уравнение:$ p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1 $$ 0,25 + p_2 + 0,25 + 0,25 = 1 $$ 0,75 + p_2 = 1 $$ p_2 = 1 - 0,75 $$ p_2 = 0,25 $

Таким образом, недостающая вероятность в законе распределения равна 0,25. Заполненный закон распределения выглядит следующим образом:

Ответ: Недостающая вероятность $P(X=21)$ равна 0,25.

Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение

Для нахождения дисперсии и среднего квадратичного отклонения необходимо последовательно вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

1. Вычисление математического ожидания $M(X)$.Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины вычисляется по формуле: $ M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i $.Подставляя значения из заполненной таблицы:$ M(X) = (3 \cdot 0,25) + (21 \cdot 0,25) + (30 \cdot 0,25) + (50 \cdot 0,25) $Для упрощения вычислений вынесем общий множитель 0,25 за скобки:$ M(X) = 0,25 \cdot (3 + 21 + 30 + 50) $$ M(X) = 0,25 \cdot 104 = 26 $

2. Вычисление дисперсии $D(X)$.Дисперсия — это мера разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Она вычисляется по формуле: $ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 $.Сначала найдем $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины:$ M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i $$ M(X^2) = (3^2 \cdot 0,25) + (21^2 \cdot 0,25) + (30^2 \cdot 0,25) + (50^2 \cdot 0,25) $$ M(X^2) = 0,25 \cdot (9 + 441 + 900 + 2500) $$ M(X^2) = 0,25 \cdot 3850 = 962,5 $Теперь подставим найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии:$ D(X) = 962,5 - 26^2 = 962,5 - 676 = 286,5 $

3. Вычисление среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$.Среднее квадратичное отклонение — это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает среднее отклонение значений случайной величины от ее среднего значения.$ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} $$ \sigma(X) = \sqrt{286,5} \approx 16,926 $

Ответ: Дисперсия $D(X) = 286,5$; среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{286,5} \approx 16,926$.