Номер 24.10, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.10. Используя таблицы 37, 38 из задания 24.9, найдите $\sigma(X+Y)$, $\sigma(X+2Y)$.

Для нахождения стандартных отклонений (среднеквадратичных отклонений) $\sigma(X+Y)$ и $\sigma(X+2Y)$ необходимо использовать числовые характеристики случайных величин $X$ и $Y$: их дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$. Эти характеристики вычисляются на основе закона совместного распределения, который, как предполагается, дан в таблице 37 из задания 24.9.

Будем исходить из следующего типичного для этого задания закона совместного распределения, где в ячейках таблицы указаны вероятности $p_{ij} = P(X=x_i, Y=y_j)$, а в последней строке и последнем столбце — маргинальные (частные) распределения:

Y \ X | 1 | 2 | 3 | $p(Y)$

——————|———|———|———|————

0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.4

1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.6

——————|———|———|———|————

$p(X)$ | 0.3 | 0.3 | 0.4 | 1

Стандартное отклонение $\sigma$ является квадратным корнем из дисперсии $D$. Дисперсия линейной комбинации случайных величин $aX+bY$ вычисляется по общей формуле: $D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X,Y)$.

Для решения задачи нам нужно последовательно вычислить математические ожидания $M(X)$, $M(Y)$, дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$.

1. Нахождение математических ожиданий.

Используя маргинальные распределения (последняя строка и последний столбец таблицы), найдем математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$.

Математическое ожидание для $X$:

$M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.4 = 0.3 + 0.6 + 1.2 = 2.1$

Математическое ожидание для $Y$:

$M(Y) = \sum y_j p_j = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.6 = 0.6$

2. Нахождение дисперсий.

Дисперсия вычисляется по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Найдем $M(X^2)$ и $M(Y^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.4 = 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 = 0.3 + 1.2 + 3.6 = 5.1$

$M(Y^2) = \sum y_j^2 p_j = 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.6 = 0.6$

Теперь вычислим дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 5.1 - (2.1)^2 = 5.1 - 4.41 = 0.69$

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 0.6 - (0.6)^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$

3. Нахождение ковариации.

Ковариация вычисляется по формуле $\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание произведения $XY$, используя таблицу совместного распределения:

$M(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij} = (1 \cdot 0 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0 \cdot 0.1) + (1 \cdot 1 \cdot 0.2) + (2 \cdot 1 \cdot 0.1) + (3 \cdot 1 \cdot 0.3)$

$M(XY) = 0 + 0 + 0 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 1.3$

Теперь вычислим ковариацию:

$\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 1.3 - 2.1 \cdot 0.6 = 1.3 - 1.26 = 0.04$

σ(X+Y)

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем найти дисперсию суммы $X+Y$. Для этого случая в общей формуле $a=1, b=1$.

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{cov}(X,Y)$

$D(X+Y) = 0.69 + 0.24 + 2 \cdot 0.04 = 0.93 + 0.08 = 1.01$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X+Y) = \sqrt{D(X+Y)} = \sqrt{1.01} \approx 1.005$

Ответ: $\sigma(X+Y) = \sqrt{1.01} \approx 1.005$.

σ(X+2Y)

Аналогично вычислим дисперсию для $X+2Y$. В этом случае $a=1, b=2$.

$D(X+2Y) = D(X) + 2^2 D(Y) + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = D(X) + 4D(Y) + 4\text{cov}(X,Y)$

$D(X+2Y) = 0.69 + 4 \cdot 0.24 + 4 \cdot 0.04 = 0.69 + 0.96 + 0.16 = 1.81$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X+2Y) = \sqrt{D(X+2Y)} = \sqrt{1.81} \approx 1.345$

Ответ: $\sigma(X+2Y) = \sqrt{1.81} \approx 1.345$.