Номер 24.9, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 24. Числовые характеристики случайной величины. Глава 7. Случайные величины и их числовые характеристики - номер 24.9, страница 137.

Условие.

24.9. Вычислите $M(X + Y), D(X + Y)$, если случайные величины X и Y распределены по следующему закону (табл. 37, 38):

Таблица 37

X: 6, 10, 14, 20

P: $\frac{1}{4}$, 0,2, 0,3, $\frac{1}{4}$

Таблица 38

Y: 3, 8, 11, 16

P: 0,2, 0,3, 0,3, 0,2

Решение.

Решение 2.

Для вычисления математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин $X$ и $Y$ воспользуемся их свойствами.

Вычисление математического ожидания $M(X+Y)$

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание для каждой случайной величины по формуле $M(Z) = \sum z_i \cdot p_i$.

Для случайной величины X (таблица 37):

Вероятности: $p_1 = \frac{1}{4} = 0,25$; $p_2 = 0,2$; $p_3 = 0,3$; $p_4 = \frac{1}{4} = 0,25$.

Проверка: $0,25 + 0,2 + 0,3 + 0,25 = 1$.

$M(X) = 6 \cdot 0,25 + 10 \cdot 0,2 + 14 \cdot 0,3 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 2 + 4,2 + 5 = 12,7$.

Для случайной величины Y (таблица 38):

Вероятности: $p_1 = 0,2$; $p_2 = 0,3$; $p_3 = 0,3$; $p_4 = 0,2$.

Проверка: $0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 1$.

$M(Y) = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 11 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,2 = 0,6 + 2,4 + 3,3 + 3,2 = 9,5$.

Теперь находим математическое ожидание суммы:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,7 + 9,5 = 22,2$.

Ответ: $M(X+Y) = 22,2$.

Вычисление дисперсии $D(X+Y)$

Поскольку случайные величины $X$ и $Y$ заданы отдельными законами распределения и нет информации об их зависимости, будем считать их независимыми. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$.

Сначала найдем дисперсию для каждой случайной величины по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для случайной величины X:

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = 6^2 \cdot 0,25 + 10^2 \cdot 0,2 + 14^2 \cdot 0,3 + 20^2 \cdot 0,25 = 36 \cdot 0,25 + 100 \cdot 0,2 + 196 \cdot 0,3 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 20 + 58,8 + 100 = 187,8$.

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 187,8 - (12,7)^2 = 187,8 - 161,29 = 26,51$.

Для случайной величины Y:

Найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 11^2 \cdot 0,3 + 16^2 \cdot 0,2 = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 121 \cdot 0,3 + 256 \cdot 0,2 = 1,8 + 19,2 + 36,3 + 51,2 = 108,5$.

Теперь вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 108,5 - (9,5)^2 = 108,5 - 90,25 = 18,25$.

Теперь находим дисперсию суммы:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 26,51 + 18,25 = 44,76$.

Ответ: $D(X+Y) = 44,76$.