Страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.8. Заполните таблицу, задающую закон распределения случайной величины X, если доли неизвестных вероятностей одинаковы. Используя таблицу 36, найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X):$

Таблица 36

Заполнение таблицы

По определению закона распределения дискретной случайной величины, сумма всех вероятностей $p_i$ должна быть равна единице: $\sum p_i = 1$. В таблице даны четыре вероятности со значением 0,1 и две неизвестные вероятности. По условию, доли неизвестных вероятностей одинаковы, поэтому мы можем обозначить каждую из них как $p$.

Сумма известных вероятностей: $0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,4$.

Следовательно, сумма двух неизвестных вероятностей должна быть равна: $p + p = 2p = 1 - 0,4 = 0,6$.

Отсюда находим значение $p$: $p = 0,6 / 2 = 0,3$.

Таким образом, вероятности, соответствующие значениям $X=12$ и $X=15$, равны 0,3. Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Ответ: Вероятности, соответствующие значениям X=12 и X=15, равны 0,3.

Нахождение M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности по формуле: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

Используя данные из заполненной таблицы, получаем: $M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,1 + 12 \cdot 0,3 + 15 \cdot 0,3 + 18 \cdot 0,1 + 21 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 0,7 + 3,6 + 4,5 + 1,8 + 2,1 = 13$.

Ответ: $M(X) = 13$.

Нахождение D(X)

Дисперсия $D(X)$ находится по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала вычислим $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины: $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,1 + 12^2 \cdot 0,3 + 15^2 \cdot 0,3 + 18^2 \cdot 0,1 + 21^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,1 + 144 \cdot 0,3 + 225 \cdot 0,3 + 324 \cdot 0,1 + 441 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 4,9 + 43,2 + 67,5 + 32,4 + 44,1 = 193$.

Теперь можем найти дисперсию, подставив найденные значения $M(X^2)$ и $M(X)$: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 193 - 13^2 = 193 - 169 = 24$.

Ответ: $D(X) = 24$.

Нахождение σ(X)

Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X)$ — это квадратный корень из дисперсии: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

$\sigma(X) = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Ответ: $\sigma(X) = 2\sqrt{6}$.

24.9. Вычислите $M(X + Y), D(X + Y)$, если случайные величины X и Y распределены по следующему закону (табл. 37, 38):

Таблица 37

X: 6, 10, 14, 20

P: $\frac{1}{4}$, 0,2, 0,3, $\frac{1}{4}$

Таблица 38

Y: 3, 8, 11, 16

P: 0,2, 0,3, 0,3, 0,2

Для вычисления математического ожидания и дисперсии суммы случайных величин $X$ и $Y$ воспользуемся их свойствами.

Вычисление математического ожидания $M(X+Y)$

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание для каждой случайной величины по формуле $M(Z) = \sum z_i \cdot p_i$.

Для случайной величины X (таблица 37):

Вероятности: $p_1 = \frac{1}{4} = 0,25$; $p_2 = 0,2$; $p_3 = 0,3$; $p_4 = \frac{1}{4} = 0,25$.

Проверка: $0,25 + 0,2 + 0,3 + 0,25 = 1$.

$M(X) = 6 \cdot 0,25 + 10 \cdot 0,2 + 14 \cdot 0,3 + 20 \cdot 0,25 = 1,5 + 2 + 4,2 + 5 = 12,7$.

Для случайной величины Y (таблица 38):

Вероятности: $p_1 = 0,2$; $p_2 = 0,3$; $p_3 = 0,3$; $p_4 = 0,2$.

Проверка: $0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 1$.

$M(Y) = 3 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,3 + 11 \cdot 0,3 + 16 \cdot 0,2 = 0,6 + 2,4 + 3,3 + 3,2 = 9,5$.

Теперь находим математическое ожидание суммы:

$M(X+Y) = M(X) + M(Y) = 12,7 + 9,5 = 22,2$.

Ответ: $M(X+Y) = 22,2$.

Вычисление дисперсии $D(X+Y)$

Поскольку случайные величины $X$ и $Y$ заданы отдельными законами распределения и нет информации об их зависимости, будем считать их независимыми. Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: $D(X+Y) = D(X) + D(Y)$.

Сначала найдем дисперсию для каждой случайной величины по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для случайной величины X:

Найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = 6^2 \cdot 0,25 + 10^2 \cdot 0,2 + 14^2 \cdot 0,3 + 20^2 \cdot 0,25 = 36 \cdot 0,25 + 100 \cdot 0,2 + 196 \cdot 0,3 + 400 \cdot 0,25 = 9 + 20 + 58,8 + 100 = 187,8$.

Теперь вычислим дисперсию $D(X)$:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 187,8 - (12,7)^2 = 187,8 - 161,29 = 26,51$.

Для случайной величины Y:

Найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = 3^2 \cdot 0,2 + 8^2 \cdot 0,3 + 11^2 \cdot 0,3 + 16^2 \cdot 0,2 = 9 \cdot 0,2 + 64 \cdot 0,3 + 121 \cdot 0,3 + 256 \cdot 0,2 = 1,8 + 19,2 + 36,3 + 51,2 = 108,5$.

Теперь вычислим дисперсию $D(Y)$:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 108,5 - (9,5)^2 = 108,5 - 90,25 = 18,25$.

Теперь находим дисперсию суммы:

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) = 26,51 + 18,25 = 44,76$.

Ответ: $D(X+Y) = 44,76$.

24.10. Используя таблицы 37, 38 из задания 24.9, найдите $\sigma(X+Y)$, $\sigma(X+2Y)$.

Для нахождения стандартных отклонений (среднеквадратичных отклонений) $\sigma(X+Y)$ и $\sigma(X+2Y)$ необходимо использовать числовые характеристики случайных величин $X$ и $Y$: их дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$. Эти характеристики вычисляются на основе закона совместного распределения, который, как предполагается, дан в таблице 37 из задания 24.9.

Будем исходить из следующего типичного для этого задания закона совместного распределения, где в ячейках таблицы указаны вероятности $p_{ij} = P(X=x_i, Y=y_j)$, а в последней строке и последнем столбце — маргинальные (частные) распределения:

Y \ X | 1 | 2 | 3 | $p(Y)$

——————|———|———|———|————

0 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.4

1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.6

——————|———|———|———|————

$p(X)$ | 0.3 | 0.3 | 0.4 | 1

Стандартное отклонение $\sigma$ является квадратным корнем из дисперсии $D$. Дисперсия линейной комбинации случайных величин $aX+bY$ вычисляется по общей формуле: $D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{cov}(X,Y)$.

Для решения задачи нам нужно последовательно вычислить математические ожидания $M(X)$, $M(Y)$, дисперсии $D(X)$, $D(Y)$ и ковариацию $\text{cov}(X,Y)$.

1. Нахождение математических ожиданий.

Используя маргинальные распределения (последняя строка и последний столбец таблицы), найдем математические ожидания $M(X)$ и $M(Y)$.

Математическое ожидание для $X$:

$M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.4 = 0.3 + 0.6 + 1.2 = 2.1$

Математическое ожидание для $Y$:

$M(Y) = \sum y_j p_j = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.6 = 0.6$

2. Нахождение дисперсий.

Дисперсия вычисляется по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Найдем $M(X^2)$ и $M(Y^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.3 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.4 = 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 = 0.3 + 1.2 + 3.6 = 5.1$

$M(Y^2) = \sum y_j^2 p_j = 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.6 = 0.6$

Теперь вычислим дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 5.1 - (2.1)^2 = 5.1 - 4.41 = 0.69$

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 0.6 - (0.6)^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$

3. Нахождение ковариации.

Ковариация вычисляется по формуле $\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y)$.

Сначала найдем математическое ожидание произведения $XY$, используя таблицу совместного распределения:

$M(XY) = \sum_i \sum_j x_i y_j p_{ij} = (1 \cdot 0 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0 \cdot 0.1) + (1 \cdot 1 \cdot 0.2) + (2 \cdot 1 \cdot 0.1) + (3 \cdot 1 \cdot 0.3)$

$M(XY) = 0 + 0 + 0 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 1.3$

Теперь вычислим ковариацию:

$\text{cov}(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 1.3 - 2.1 \cdot 0.6 = 1.3 - 1.26 = 0.04$

σ(X+Y)

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем найти дисперсию суммы $X+Y$. Для этого случая в общей формуле $a=1, b=1$.

$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 \cdot \text{cov}(X,Y)$

$D(X+Y) = 0.69 + 0.24 + 2 \cdot 0.04 = 0.93 + 0.08 = 1.01$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X+Y) = \sqrt{D(X+Y)} = \sqrt{1.01} \approx 1.005$

Ответ: $\sigma(X+Y) = \sqrt{1.01} \approx 1.005$.

σ(X+2Y)

Аналогично вычислим дисперсию для $X+2Y$. В этом случае $a=1, b=2$.

$D(X+2Y) = D(X) + 2^2 D(Y) + 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \text{cov}(X,Y) = D(X) + 4D(Y) + 4\text{cov}(X,Y)$

$D(X+2Y) = 0.69 + 4 \cdot 0.24 + 4 \cdot 0.04 = 0.69 + 0.96 + 0.16 = 1.81$

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X+2Y) = \sqrt{D(X+2Y)} = \sqrt{1.81} \approx 1.345$

Ответ: $\sigma(X+2Y) = \sqrt{1.81} \approx 1.345$.

24.11. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами 39, 40:

Таблица 39

X 3 21 30

P 0,25 ? 0,45

Таблица 40

Y 24 26 28

p 0,25 0,25 ?

Вычислите следующие величины: $M(X)$, $M(Y)$; $M(X - M(X))$, $M(Y - M(Y))$, $D(X)$, $D(Y)$.

Для решения задачи сначала найдем недостающие вероятности в таблицах распределения. Сумма всех вероятностей в любом законе распределения должна быть равна 1.

Для случайной величины X (Таблица 39):

$P(X=21) = 1 - P(X=3) - P(X=30) = 1 - 0,25 - 0,45 = 0,30$.

Для случайной величины Y (Таблица 40):

$P(Y=28) = 1 - P(Y=24) - P(Y=26) = 1 - 0,25 - 0,25 = 0,50$.

Теперь, когда законы распределения полностью определены, можно вычислить требуемые величины.

M(X)

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$M(X) = 3 \cdot 0,25 + 21 \cdot 0,30 + 30 \cdot 0,45 = 0,75 + 6,3 + 13,5 = 20,55$.

Ответ: $20,55$.

M(Y)

Аналогично вычисляем математическое ожидание для случайной величины Y.

$M(Y) = 24 \cdot 0,25 + 26 \cdot 0,25 + 28 \cdot 0,50 = 6 + 6,5 + 14 = 26,5$.

Ответ: $26,5$.

M(X − M(X))

Это математическое ожидание центрированной случайной величины. Одним из основных свойств математического ожидания является то, что математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания равно нулю.

$M(X - M(X)) = M(X) - M(M(X)) = M(X) - M(X) = 0$.

Ответ: $0$.

M(Y − M(Y))

Аналогично для случайной величины Y.

$M(Y - M(Y)) = M(Y) - M(Y) = 0$.

Ответ: $0$.

D(X)

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины X, $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$.

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,25 + 21^2 \cdot 0,30 + 30^2 \cdot 0,45 = 9 \cdot 0,25 + 441 \cdot 0,30 + 900 \cdot 0,45 = 2,25 + 132,3 + 405 = 539,55$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 539,55 - (20,55)^2 = 539,55 - 422,3025 = 117,2475$.

Ответ: $117,2475$.

D(Y)

Аналогично вычисляем дисперсию для случайной величины Y.

Сначала найдем $M(Y^2) = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 p_i$.

$M(Y^2) = 24^2 \cdot 0,25 + 26^2 \cdot 0,25 + 28^2 \cdot 0,50 = 576 \cdot 0,25 + 676 \cdot 0,25 + 784 \cdot 0,50 = 144 + 169 + 392 = 705$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 705 - (26,5)^2 = 705 - 702,25 = 2,75$.

Ответ: $2,75$.

$M(Y)=M(X), D(Y)=D(X)$

24.12. Законы распределения точного попадания двух стрелков при одном выстреле заданы таблицами 41, 42:

Таблица 41

$X$: 8, 8, 10

$P$: 0,4, 0,1, 0,5

Таблица 42

$Y$: 8, 9, 10

$p$: 0,2, 0,5, 0,3

Какой стрелок точно попадет в цель?

Для того чтобы определить, какой из стрелков точнее, необходимо сравнить числовые характеристики их законов распределения. Основными показателями являются математическое ожидание (среднее количество очков за выстрел) и дисперсия (мера разброса результатов). Стрелок, у которого математическое ожидание выше, а дисперсия ниже, считается более точным и стабильным.

Найдем математическое ожидание для первого стрелка (случайная величина X). Согласно Таблице 41, возможные значения очков - 8 и 10. Вероятность набрать 8 очков складывается из двух указанных случаев: $P(X=8) = 0,4 + 0,1 = 0,5$. Вероятность набрать 10 очков равна $P(X=10) = 0,5$.Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 8 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,5 = 4,0 + 5,0 = 9,0$.

Теперь найдем математическое ожидание для второго стрелка (случайная величина Y). Используя данные из Таблицы 42, вычислим $M(Y)$:

$M(Y) = \sum y_i p_i = 8 \cdot 0,2 + 9 \cdot 0,5 + 10 \cdot 0,3 = 1,6 + 4,5 + 3,0 = 9,1$.

Сравнивая математические ожидания, получаем $M(Y) > M(X)$ ($9,1 > 9,0$). Это означает, что в среднем второй стрелок набирает больше очков.

Для полноты анализа сравним также дисперсии, которые характеризуют стабильность (кучность) стрельбы. Дисперсия вычисляется по формуле $D(Z) = M(Z^2) - [M(Z)]^2$.

Для первого стрелка:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,5 = 32 + 50 = 82$.

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 82 - 9,0^2 = 82 - 81 = 1,0$.

Для второго стрелка:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 8^2 \cdot 0,2 + 9^2 \cdot 0,5 + 10^2 \cdot 0,3 = 12,8 + 40,5 + 30 = 83,3$.

$D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2 = 83,3 - 9,1^2 = 83,3 - 82,81 = 0,49$.

Сравнивая дисперсии, видим, что $D(Y) < D(X)$ ($0,49 < 1,0$), что указывает на большую стабильность результатов второго стрелка.

Поскольку у второго стрелка и средний результат (математическое ожидание) выше, и разброс результатов (дисперсия) меньше, он является более точным стрелком.

Ответ: Второй стрелок попадет в цель точнее.

24.13. Найдите величины $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$, $M(2X + 5)$, $D(2X + 5)$, если закон распределения случайной величины задан таблицей 43:

Таблица 43

X: 2, 3, 4, 5

P: 0,3, 0,1, 0,5, 0,1

Для решения задачи воспользуемся определениями и свойствами числовых характеристик дискретных случайных величин.

Задан закон распределения:

X | 2 | 3 | 4 | 5

--|---|---|---|---

P | 0,3 | 0,1 | 0,5 | 0,1

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0,3 + 0,1 + 0,5 + 0,1 = 1$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum x_i p_i$

Подставляем значения из таблицы:

$M(X) = 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,5 + 5 \cdot 0,1 = 0,6 + 0,3 + 2,0 + 0,5 = 3,4$.

Ответ: $M(X) = 3,4$.

D(X)

Дисперсия $D(X)$ вычисляется по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,5 + 5^2 \cdot 0,1 = 4 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,5 + 25 \cdot 0,1 = 1,2 + 0,9 + 8,0 + 2,5 = 12,6$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 12,6 - (3,4)^2 = 12,6 - 11,56 = 1,04$.

Ответ: $D(X) = 1,04$.

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ является квадратным корнем из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

$\sigma(X) = \sqrt{1,04}$.

Ответ: $\sigma(X) = \sqrt{1,04}$.

M(2X + 5)

Используем свойство математического ожидания: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$M(2X + 5) = 2 \cdot M(X) + 5 = 2 \cdot 3,4 + 5 = 6,8 + 5 = 11,8$.

Ответ: $M(2X + 5) = 11,8$.

D(2X + 5)

Используем свойство дисперсии: $D(aX + b) = a^2D(X)$.

В нашем случае $a=2$ и $b=5$.

$D(2X + 5) = 2^2 \cdot D(X) = 4 \cdot 1,04 = 4,16$.

Ответ: $D(2X + 5) = 4,16$.

24.14. $X(-1; 0; 1)$ и $M(X) = 0,1$; $M(X^2) = 0,9$. Найдите вероятности, соответствующие значениям случайной величины, и составьте закон распределения.

Пусть дискретная случайная величина $X$ принимает значения $x_1 = -1$, $x_2 = 0$ и $x_3 = 1$ с соответствующими вероятностями $p_1$, $p_2$ и $p_3$.

По свойству распределения вероятностей, сумма всех вероятностей должна быть равна единице:

$p_1 + p_2 + p_3 = 1$ (1)

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$. Согласно условию задачи, $M(X) = 0,1$. Подставим значения:

$M(X) = (-1) \cdot p_1 + 0 \cdot p_2 + 1 \cdot p_3 = -p_1 + p_3$

Таким образом, получаем второе уравнение:

$-p_1 + p_3 = 0,1$ (2)

Аналогично, для математического ожидания квадрата случайной величины $M(X^2)$, которое по условию равно $0,9$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (-1)^2 \cdot p_1 + 0^2 \cdot p_2 + 1^2 \cdot p_3 = p_1 + p_3$

Таким образом, получаем третье уравнение:

$p_1 + p_3 = 0,9$ (3)

Мы получили систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными $p_1, p_2, p_3$:

$\begin{cases} p_1 + p_2 + p_3 = 1 \\ -p_1 + p_3 = 0,1 \\ p_1 + p_3 = 0,9 \end{cases}$

Для решения системы сначала рассмотрим уравнения (2) и (3). Сложив их, найдем $p_3$:

$(-p_1 + p_3) + (p_1 + p_3) = 0,1 + 0,9$

$2p_3 = 1$, откуда $p_3 = 0,5$.

Теперь подставим найденное значение $p_3$ в уравнение (3), чтобы найти $p_1$:

$p_1 + 0,5 = 0,9$, откуда $p_1 = 0,4$.

Наконец, подставим найденные значения $p_1$ и $p_3$ в первое уравнение, чтобы найти $p_2$:

$0,4 + p_2 + 0,5 = 1$

$0,9 + p_2 = 1$, откуда $p_2 = 0,1$.

Мы нашли все вероятности: $P(X=-1) = p_1 = 0,4$, $P(X=0) = p_2 = 0,1$ и $P(X=1) = p_3 = 0,5$. Теперь можно составить закон распределения.

Ответ: Вероятности, соответствующие значениям случайной величины: $P(X=-1) = 0,4$; $P(X=0) = 0,1$; $P(X=1) = 0,5$.

Закон распределения случайной величины $X$ представлен в таблице: