Страница 143 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Вычислите производную функции:

a) $f(x) = \frac{1}{7}x^7 + \cos x;$

б) $f(x) = \frac{1}{12}x^6 - \sin x;$

в) $f(x) = x^6 \cdot (x^4 - 1);$

г) $f(x) = x^{11} \cdot (x^7 + 2);$

д) $f(x) = \frac{2}{x^8} - x^8;$

е) $f(x) = \frac{3}{x^3} + \frac{3}{x^5}.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{7}x^7 + \cos x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и таблицей производных основных элементарных функций.

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $(u+v)' = u' + v'$.

$f'(x) = (\frac{1}{7}x^7 + \cos x)' = (\frac{1}{7}x^7)' + (\cos x)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

$(\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} = x^6$.

Производная функции косинус: $(\cos x)' = -\sin x$.

Складываем полученные производные:

$f'(x) = x^6 - \sin x$.

Ответ: $x^6 - \sin x$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{12}x^6 - \sin x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - \sin x)' = (\frac{1}{12}x^6)' - (\sin x)'$.

Находим производную первого слагаемого, используя правило для степенной функции и вынесение константы:

$(\frac{1}{12}x^6)' = \frac{1}{12} \cdot (x^6)' = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} = \frac{6}{12}x^5 = \frac{1}{2}x^5$.

Находим производную второго слагаемого: $(\sin x)' = \cos x$.

Вычитаем вторую производную из первой:

$f'(x) = \frac{1}{2}x^5 - \cos x$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^5 - \cos x$.

в) Дана функция $f(x) = x^6 \cdot (x^4 - 1)$.

Для упрощения вычисления сначала раскроем скобки:

$f(x) = x^6 \cdot x^4 - x^6 \cdot 1 = x^{10} - x^6$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции:

$f'(x) = (x^{10} - x^6)' = (x^{10})' - (x^6)'$.

$(x^{10})' = 10x^{10-1} = 10x^9$.

$(x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 10x^9 - 6x^5$.

Ответ: $10x^9 - 6x^5$.

г) Дана функция $f(x) = x^{11} \cdot (x^7 + 2)$.

Сначала раскроем скобки, чтобы упростить функцию:

$f(x) = x^{11} \cdot x^7 + x^{11} \cdot 2 = x^{18} + 2x^{11}$.

Теперь найдем производную как сумму производных:

$f'(x) = (x^{18} + 2x^{11})' = (x^{18})' + (2x^{11})'$.

Используем правило для степенной функции:

$(x^{18})' = 18x^{18-1} = 18x^{17}$.

$(2x^{11})' = 2 \cdot 11x^{11-1} = 22x^{10}$.

Складываем результаты:

$f'(x) = 18x^{17} + 22x^{10}$.

Ответ: $18x^{17} + 22x^{10}$.

д) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x^8} - x^8$.

Для удобства дифференцирования представим первое слагаемое в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$.

$f(x) = 2x^{-8} - x^8$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования разности и правило для степенной функции:

$f'(x) = (2x^{-8} - x^8)' = (2x^{-8})' - (x^8)'$.

$(2x^{-8})' = 2 \cdot (-8)x^{-8-1} = -16x^{-9}$.

$(x^8)' = 8x^{8-1} = 8x^7$.

Вычитаем вторую производную из первой:

$f'(x) = -16x^{-9} - 8x^7$.

Запишем результат с положительными степенями:

$f'(x) = -\frac{16}{x^9} - 8x^7$.

Ответ: $-\frac{16}{x^9} - 8x^7$.

е) Дана функция $f(x) = \frac{3}{x^3} + \frac{3}{x^5}$.

Представим слагаемые в виде степеней с отрицательными показателями:

$f(x) = 3x^{-3} + 3x^{-5}$.

Найдем производную как сумму производных:

$f'(x) = (3x^{-3} + 3x^{-5})' = (3x^{-3})' + (3x^{-5})'$.

Применим правило дифференцирования степенной функции:

$(3x^{-3})' = 3 \cdot (-3)x^{-3-1} = -9x^{-4}$.

$(3x^{-5})' = 3 \cdot (-5)x^{-5-1} = -15x^{-6}$.

Складываем результаты:

$f'(x) = -9x^{-4} - 15x^{-6}$.

Запишем ответ с положительными степенями:

$f'(x) = -\frac{9}{x^4} - \frac{15}{x^6}$.

Ответ: $-\frac{9}{x^4} - \frac{15}{x^6}$.

10. Тело движется прямолинейно по закону $s(t) = 3t^2 + 5$. Найдите скорость тела в момент времени $t = 2$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от функции, описывающей закон движения (координаты) $s(t)$ по времени $t$.

Закон движения тела задан уравнением: $s(t) = 3t^2 + 5$.

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную от функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (3t^2 + 5)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = (3t^2)' + (5)' = 3 \cdot (t^2)' + 0 = 3 \cdot 2t = 6t$

Теперь мы можем найти скорость тела в заданный момент времени $t = 2$ с, подставив это значение в полученное уравнение для скорости:

$v(2) = 6 \cdot 2 = 12$

Поскольку координата измеряется в метрах, а время в секундах, скорость будет измеряться в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 12 м/с.

11. Найдите скорость движения тела в момент времени $t = 5$, если закон движения задан формулой $s(t) = 4t^2 - 3$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

Скорость движения тела $v(t)$ является первой производной от закона движения $s(t)$ по времени $t$. Закон движения задан формулой $s(t) = 4t^2 - 3$.

Найдем производную функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (4t^2 - 3)'$.

Используем правила дифференцирования: производная от степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$ и производная от константы $(C)'=0$.

$(4t^2 - 3)' = (4t^2)' - (3)' = 4 \cdot 2t^{2-1} - 0 = 8t$.

Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид: $v(t) = 8t$.

Теперь вычислим скорость в момент времени $t = 5$. Для этого подставим значение $t = 5$ в полученную формулу для скорости:

$v(5) = 8 \cdot 5 = 40$.

Поскольку время измеряется в секундах, а координата — в метрах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 40 м/с.

12. Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону $s(t) = t^2 - 4t + 5$, равна нулю?

Задан закон прямолинейного движения точки: $s(t) = t^2 - 4t + 5$.

Скорость точки $v(t)$ в любой момент времени $t$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

Найдем производную функции $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (t^2 - 4t + 5)'$

Используя правила дифференцирования (производная от $t^n$ равна $nt^{n-1}$, производная от константы равна 0), получаем:

$v(t) = 2 \cdot t^{2-1} - 4 \cdot 1 \cdot t^{1-0} + 0 = 2t - 4$

Таким образом, функция скорости имеет вид: $v(t) = 2t - 4$.

Чтобы найти, в какой момент времени скорость равна нулю, нужно решить уравнение $v(t) = 0$:

$2t - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть уравнения:

$2t = 4$

Разделим обе части на 2:

$t = \frac{4}{2}$

$t = 2$

Ответ: скорость точки равна нулю при $t = 2$.

13. Найдите скорость и ускорение точки в указанные моменты времени t, движущейся прямолинейно по закону:

а) $s(t) = t^3 - 6t + 8$; $t = 3$;

б) $s(t) = t^3 - 2t^2 + 1$; $t = 2$ (время измеряется в секундах, координата — в метрах).

а)

Задан закон прямолинейного движения точки: $s(t) = t^3 - 6t + 8$. Время $t$ измеряется в секундах, а координата $s$ – в метрах.

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от функции координаты по времени $s(t)$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 6t + 8)' = 3t^2 - 6$.

Вычислим скорость точки в момент времени $t = 3$ с:

$v(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 = 3 \cdot 9 - 6 = 27 - 6 = 21$ м/с.

Ускорение точки $a(t)$ является первой производной от функции скорости по времени $v(t)$ (или второй производной от функции координаты $s(t)$). Найдем функцию ускорения:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 6)' = 6t$.

Вычислим ускорение точки в момент времени $t = 3$ с:

$a(3) = 6 \cdot 3 = 18$ м/с².

Ответ: скорость равна 21 м/с, ускорение равно 18 м/с².

б)

Задан закон прямолинейного движения точки: $s(t) = t^3 - 2t^2 + 1$. Время $t$ измеряется в секундах, а координата $s$ – в метрах.

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от функции координаты по времени $s(t)$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 2t^2 + 1)' = 3t^2 - 4t$.

Вычислим скорость точки в момент времени $t = 2$ с:

$v(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4$ м/с.

Ускорение точки $a(t)$ является первой производной от функции скорости по времени $v(t)$. Найдем функцию ускорения:

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t)' = 6t - 4$.

Вычислим ускорение точки в момент времени $t = 2$ с:

$a(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$ м/с².

Ответ: скорость равна 4 м/с, ускорение равно 8 м/с².

14. Найдите производную сложной функции:

а) $f(x) = (x^3 - 6)^{110}$;

б) $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 2}$;

в) $f(x) = \sin^5(6x - 1)$;

г) $f(x) = 2 \cos^4\left(\frac{\pi}{3} - x^4\right)$.

а) Дана функция $f(x) = (x^3 - 6)^{110}$.

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и цепным правилом. Пусть $u(x) = x^3 - 6$, тогда $f(x) = u(x)^{110}$.

Производная сложной функции находится по формуле: $f'(x) = (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$:

$u'(x) = (x^3 - 6)' = 3x^2$.

Теперь применим формулу для производной сложной функции:

$f'(x) = 110 \cdot (x^3 - 6)^{110-1} \cdot u'(x) = 110 \cdot (x^3 - 6)^{109} \cdot 3x^2$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = 330x^2(x^3 - 6)^{109}$.

Ответ: $f'(x) = 330x^2(x^3 - 6)^{109}$.

б) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 - x + 2}$.

Представим корень как степень $1/2$: $f(x) = (x^2 - x + 2)^{1/2}$.

Это сложная функция, где внешняя функция — это $u^{1/2}$, а внутренняя — $u(x) = x^2 - x + 2$.

Используем то же цепное правило: $f'(x) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Находим производную внутренней функции:

$u'(x) = (x^2 - x + 2)' = 2x - 1$.

Подставляем в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}} \cdot (2x - 1)$.

Запишем результат в виде одной дроби:

$f'(x) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 2}}$.

в) Дана функция $f(x) = \sin^5(6x - 1)$.

Эту функцию можно представить как $f(x) = (\sin(6x - 1))^5$.

Это многоуровневая сложная функция. Применим цепное правило последовательно. Пусть $v=6x-1$, $u=\sin(v)$, тогда $f(x)=u^5$.

$f'(x) = (u^5)' \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней степенной функции: $(u^5)' = 5u^4 = 5(\sin(6x-1))^4 = 5\sin^4(6x-1)$.

2. Производная средней тригонометрической функции: $(\sin(v))' = \cos(v) = \cos(6x-1)$.

3. Производная внутренней линейной функции: $(6x-1)' = 6$.

Теперь перемножим все найденные производные:

$f'(x) = 5\sin^4(6x-1) \cdot \cos(6x-1) \cdot 6$.

Упростим выражение:

$f'(x) = 30\sin^4(6x-1)\cos(6x-1)$.

Ответ: $f'(x) = 30\sin^4(6x-1)\cos(6x-1)$.

г) Дана функция $f(x) = 2\cos^4(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

Представим функцию как $f(x) = 2(\cos(\frac{\pi}{3} - x^4))^4$.

Это также многоуровневая сложная функция с постоянным множителем 2. Пусть $v = \frac{\pi}{3} - x^4$, $u = \cos(v)$, тогда $f(x) = 2u^4$.

Применяем цепное правило, вынеся константу за знак производной: $f'(x) = 2 \cdot (u^4)' \cdot u'_v \cdot v'_x$.

1. Производная внешней степенной функции: $(u^4)' = 4u^3 = 4(\cos(\frac{\pi}{3} - x^4))^3 = 4\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

2. Производная средней тригонометрической функции: $(\cos(v))' = -\sin(v) = -\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

3. Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - x^4)' = 0 - 4x^3 = -4x^3$.

Перемножим все компоненты, включая константу 2:

$f'(x) = 2 \cdot [4\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)] \cdot [-\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)] \cdot [-4x^3]$.

Упростим, перемножая числовые коэффициенты и учитывая знаки:

$f'(x) = (2 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-4)) \cdot x^3 \cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

$f'(x) = 32x^3\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

Ответ: $f'(x) = 32x^3\cos^3(\frac{\pi}{3} - x^4)\sin(\frac{\pi}{3} - x^4)$.

15. Найдите значение $f'(x_0)$, если:

а) $f(x) = (x^6 + x)^3 - 15$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \text{tg}^{-1}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $x_0 = 0$;

в) $f(x) = \sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$;

г) $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x^3$, $x_0 = 0$.

а) Дана функция $f(x) = (x^6 + x)^3 - 15$ и точка $x_0 = 1$.

Для нахождения значения производной $f'(x_0)$ сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы.

$f'(x) = ((x^6 + x)^3 - 15)' = ((x^6 + x)^3)' - (15)' = 3(x^6 + x)^{2} \cdot (x^6 + x)' - 0 = 3(x^6 + x)^2 \cdot (6x^5 + 1)$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1^6 + 1)^2 \cdot (6 \cdot 1^5 + 1) = 3(1 + 1)^2 \cdot (6 + 1) = 3 \cdot 2^2 \cdot 7 = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Ответ: 84

б) Дана функция $f(x) = \text{tg}^4(x - \frac{\pi}{3})$ и точка $x_0 = 0$.

Функция может быть записана как $f(x) = (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))^4$. Найдем ее производную, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) несколько раз.

$f'(x) = 4(\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))^3 \cdot (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 4\text{tg}^3(x - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})} \cdot (x - \frac{\pi}{3})' = 4\text{tg}^3(x - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})}$.

Подставим значение $x_0 = 0$:

$f'(0) = 4\text{tg}^3(0 - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(0 - \frac{\pi}{3})} = 4\text{tg}^3(-\frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{\cos^2(-\frac{\pi}{3})}$.

Используем значения тригонометрических функций: $\text{tg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ и $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$f'(0) = 4(-\sqrt{3})^3 \cdot \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = 4(-3\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4(-3\sqrt{3}) \cdot 4 = -48\sqrt{3}$.

Ответ: $-48\sqrt{3}$

в) Дана функция $f(x) = \sin^2(x - \frac{\pi}{4}) + \cos x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Найдем производную функции как производную суммы двух слагаемых.

$f'(x) = (\sin^2(x - \frac{\pi}{4}))' + (\cos x)'$.

Для первого слагаемого используем цепное правило: $(\sin^2(u))' = 2\sin(u) \cdot (\sin u)' = 2\sin(u)\cos(u) \cdot u'$.

$(\sin^2(x - \frac{\pi}{4}))' = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) \cdot 1$.

Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.

Таким образом, $f'(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})\cos(x - \frac{\pi}{4}) - \sin x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = 2\sin(0)\cos(0) - \sin(\frac{\pi}{4})$.

Зная, что $\sin(0) = 0$, $\cos(0) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 0 \cdot 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x^3$ и точка $x_0 = 0$.

Найдем производную функции, дифференцируя каждое слагаемое по отдельности.

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 1})' - (x^3)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции для корня: $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

$(\sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

Производная второго слагаемого: $(x^3)' = 3x^2$.

Следовательно, $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 3x^2$.

Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в полученное выражение:

$f'(0) = \frac{0}{\sqrt{0^2 + 1}} - 3 \cdot 0^2 = \frac{0}{\sqrt{1}} - 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0

16. Найдите приближенное значение степени:

а) $(1,012)^3$;

б) $(1,005)^{10}$;

в) $(0,975)^4$;

г) $(3,027)^4$.

Для нахождения приближенного значения степени используется формула линейного приближения функции, которая является следствием определения производной. Для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ справедливо приближенное равенство:

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$

где $\Delta x$ — малое приращение аргумента.

В данном задании мы имеем дело со степенной функцией $f(x) = x^n$. Ее производная равна $f'(x) = nx^{n-1}$. Подставив эти выражения в общую формулу, получаем формулу для приближенного вычисления степени:

$(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x$

В частном случае, когда $x_0=1$, формула значительно упрощается и совпадает с формулой биномиального приближения:

$(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$

Воспользуемся этими формулами для решения каждого пункта.

а) Найдём приближенное значение $(1,012)^3$.

Представим основание степени как $1,012 = 1 + 0,012$. Тогда выражение примет вид $(1 + 0,012)^3$.

Применим формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = 0,012$ и $n = 3$.

$(1,012)^3 \approx 1 + 3 \cdot 0,012 = 1 + 0,036 = 1,036$.

Ответ: $1,036$.

б) Найдём приближенное значение $(1,005)^{10}$.

Представим основание степени как $1,005 = 1 + 0,005$. Тогда выражение примет вид $(1 + 0,005)^{10}$.

Используем формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = 0,005$ и $n = 10$.

$(1,005)^{10} \approx 1 + 10 \cdot 0,005 = 1 + 0,05 = 1,05$.

Ответ: $1,05$.

в) Найдём приближенное значение $(0,975)^4$.

Представим основание степени как $0,975 = 1 - 0,025$. Тогда выражение примет вид $(1 - 0,025)^4$.

Применим формулу $(1 + \Delta x)^n \approx 1 + n \Delta x$, где $\Delta x = -0,025$ и $n = 4$.

$(0,975)^4 \approx 1 + 4 \cdot (-0,025) = 1 - 0,1 = 0,9$.

Ответ: $0,9$.

г) Найдём приближенное значение $(3,027)^4$.

В этом случае основание степени не близко к единице, поэтому используем общую формулу $(x_0 + \Delta x)^n \approx x_0^n + n x_0^{n-1} \Delta x$.

Представим основание как $3,027 = 3 + 0,027$.

Выберем $x_0 = 3$, $\Delta x = 0,027$ и $n = 4$.

Вычислим первое слагаемое $x_0^n$:

$x_0^n = 3^4 = 81$.

Вычислим второе слагаемое (поправку) $n x_0^{n-1} \Delta x$:

$n x_0^{n-1} \Delta x = 4 \cdot 3^{4-1} \cdot 0,027 = 4 \cdot 3^3 \cdot 0,027 = 4 \cdot 27 \cdot 0,027 = 108 \cdot 0,027$.

Произведем умножение: $108 \cdot 0,027 = 2,916$.

Сложим полученные значения, чтобы найти приближенное значение степени:

$(3,027)^4 \approx 81 + 2,916 = 83,916$.

Ответ: $83,916$.

17. Вычислите приближенное значение корня:

а) $ \sqrt{1,006} $;

б) $ \sqrt{24,84} $;

в) $ \sqrt{99,5} $;

г) $ \sqrt{1,3} $.

Для вычисления приближенного значения корня воспользуемся формулой приближенного вычисления значения функции с помощью её дифференциала. Эта формула, также известная как формула линейного приближения, имеет вид: $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ или $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$.

В данном задании мы работаем с функцией $f(x) = \sqrt{x}$. Её производная равна $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом, формула для приближенного вычисления квадратного корня принимает вид: $\sqrt{x_0 + \Delta x} \approx \sqrt{x_0} + \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\Delta x$. В этой формуле $x_0$ — это число, близкое к исходному подкоренному выражению, для которого легко вычисляется точное значение корня (точный квадрат), а $\Delta x = x - x_0$ — это малое приращение.

а) Для вычисления $\sqrt{1.006}$ положим $x = 1.006$. В качестве опорной точки $x_0$ выберем ближайший точный квадрат, то есть $x_0 = 1$. Тогда приращение $\Delta x = 1.006 - 1 = 0.006$. Подставляем эти значения в нашу формулу:$\sqrt{1.006} = \sqrt{1 + 0.006} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot 0.006 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.006 = 1 + 0.003 = 1.003$.Ответ: $1.003$.

б) Для вычисления $\sqrt{24.84}$ положим $x = 24.84$. Ближайший точный квадрат — это $25$, поэтому выберем $x_0 = 25$. Приращение $\Delta x = 24.84 - 25 = -0.16$. Применяем формулу:$\sqrt{24.84} = \sqrt{25 + (-0.16)} \approx \sqrt{25} + \frac{1}{2\sqrt{25}} \cdot (-0.16) = 5 + \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (-0.16) = 5 + \frac{1}{10} \cdot (-0.16) = 5 - 0.016 = 4.984$.Ответ: $4.984$.

в) Для вычисления $\sqrt{99.5}$ положим $x = 99.5$. Ближайший точный квадрат — это $100$, так что $x_0 = 100$. Приращение $\Delta x = 99.5 - 100 = -0.5$. Подставляем в формулу:$\sqrt{99.5} = \sqrt{100 + (-0.5)} \approx \sqrt{100} + \frac{1}{2\sqrt{100}} \cdot (-0.5) = 10 + \frac{1}{2 \cdot 10} \cdot (-0.5) = 10 + \frac{1}{20} \cdot (-0.5) = 10 - 0.025 = 9.975$.Ответ: $9.975$.

г) Для вычисления $\sqrt{1.3}$ положим $x = 1.3$. Ближайший точный квадрат — это $1$, поэтому $x_0 = 1$. Приращение $\Delta x = 1.3 - 1 = 0.3$. Используем формулу:$\sqrt{1.3} = \sqrt{1 + 0.3} \approx \sqrt{1} + \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot 0.3 = 1 + \frac{1}{2} \cdot 0.3 = 1 + 0.15 = 1.15$.Ответ: $1.15$.

18. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции на заданном промежутке:

а) $f(x) = x - x^2$, $[1; 2];$

б) $f(x) = x^2 + x + 1$, $[0; 1];$

в) $f(x) = x^3 - 3x + 7$, $[-3; 1];$

г) $f(x) = 3x^3 - x + 1$, $[-2; 3].$

а) $f(x) = x - x^2$ на промежутке $[1; 2]$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке найдем ее производную и критические точки.Производная функции: $f'(x) = (x - x^2)' = 1 - 2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $1 - 2x = 0$, откуда $x = 0.5$.

Критическая точка $x = 0.5$ не принадлежит заданному промежутку $[1; 2]$. Следовательно, наименьшее и наибольшее значения функция достигает на концах этого промежутка.

Вычислим значения функции в точках $x=1$ и $x=2$:

$f(1) = 1 - 1^2 = 1 - 1 = 0$

$f(2) = 2 - 2^2 = 2 - 4 = -2$

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции равно -2, а наибольшее — 0.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -2$, наибольшее значение $f_{max} = 0$.

б) $f(x) = x^2 + x + 1$ на промежутке $[0; 1]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 + x + 1)' = 2x + 1$.

Найдем критические точки: $2x + 1 = 0$, откуда $x = -0.5$.

Критическая точка $x = -0.5$ не принадлежит заданному промежутку $[0; 1]$. Значит, функция достигает своих экстремальных значений на концах промежутка.

Вычислим значения функции в точках $x=0$ и $x=1$:

$f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1$

$f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3$

Наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее — 3.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = 1$, наибольшее значение $f_{max} = 3$.

в) $f(x) = x^3 - 3x + 7$ на промежутке $[-3; 1]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x + 7)' = 3x^2 - 3$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$:

$3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.

Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат промежутку $[-3; 1]$ (точка $x=1$ является его концом).

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка: в точках $x=-3, x=-1, x=1$.

$f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 7 = -27 + 9 + 7 = -11$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 7 = -1 + 3 + 7 = 9$

$f(1) = 1^3 - 3(1) + 7 = 1 - 3 + 7 = 5$

Сравнивая полученные значения ($-11, 9, 5$), находим, что наименьшее значение равно -11, а наибольшее — 9.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -11$, наибольшее значение $f_{max} = 9$.

г) $f(x) = 3x^3 - x + 1$ на промежутке $[-2; 3]$

Найдем производную функции: $f'(x) = (3x^3 - x + 1)' = 9x^2 - 1$.

Найдем критические точки: $9x^2 - 1 = 0 \implies 9x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{9} \implies x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = \frac{1}{3}$.

Обе критические точки $x = -1/3$ и $x = 1/3$ принадлежат заданному промежутку $[-2; 3]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах промежутка: в точках $x=-2, x=-1/3, x=1/3, x=3$.

$f(-2) = 3(-2)^3 - (-2) + 1 = 3(-8) + 2 + 1 = -24 + 3 = -21$

$f(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3}) + 1 = 3(-\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} + 1 = -\frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{11}{9}$

$f(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^3 - \frac{1}{3} + 1 = 3(\frac{1}{27}) - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} + \frac{9}{9} = \frac{7}{9}$

$f(3) = 3(3)^3 - 3 + 1 = 3(27) - 2 = 81 - 2 = 79$

Сравнивая полученные значения ($-21, 11/9, 7/9, 79$), находим, что наименьшее значение равно -21, а наибольшее — 79.

Ответ: наименьшее значение $f_{min} = -21$, наибольшее значение $f_{max} = 79$.

19. Какова наибольшая площадь прямоугольного участка, который нужно огородить забором длиной 50 м?

19. Для решения задачи нам нужно найти размеры прямоугольного участка, при которых его площадь будет максимальной, при известном периметре.

Пусть стороны прямоугольного участка равны $a$ и $b$.

Длина забора — это периметр $P$ участка. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

По условию задачи, $P = 50$ м. Значит, мы имеем уравнение:

$2(a + b) = 50$

Разделим обе части на 2:

$a + b = 25$

Площадь $S$ прямоугольного участка вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Чтобы найти максимальную площадь, выразим одну из сторон через другую, используя уравнение для периметра. Например, выразим $b$:

$b = 25 - a$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади. Площадь станет функцией от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (25 - a) = 25a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 25a$ является квадратичной. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицательный). Максимальное значение такой функции находится в её вершине.

Координата вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = - \frac{B}{2A}$.

В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты $A = -1$ и $B = 25$.

Найдём значение стороны $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = - \frac{25}{2 \cdot (-1)} = - \frac{25}{-2} = 12.5$ м.

Теперь найдём длину второй стороны $b$:

$b = 25 - a = 25 - 12.5 = 12.5$ м.

Так как $a = b = 12.5$ м, то участок с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом. Это общее свойство: из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Наконец, вычислим наибольшую площадь:

$S_{max} = 12.5 \cdot 12.5 = 156.25$ м².

Ответ: $156.25$ м².