Страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

61. Пусть $x$ и $y$ различные числа и делятся на $z$. Укажите верное утверждение:

A) $\frac{x - y}{5x}$ делится на $z$;

B) $\frac{6y}{x + y}$ делится на $z$;

C) $-4x + 3$ делится на $z$;

D) $-4x + 3y$ делится на $z$;

E) $\frac{x^3}{y^3}$ делится на $z$.

По условию задачи, числа $x$ и $y$ делятся на $z$. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $x = k \cdot z$ и $y = m \cdot z$. Также дано, что $x$ и $y$ — различные числа, следовательно, $x \ne y$ и $k \ne m$. Проанализируем каждое из предложенных утверждений.

A) $\frac{x - y}{5x}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$ в данное выражение:

$\frac{x - y}{5x} = \frac{kz - mz}{5(kz)} = \frac{z(k - m)}{5kz} = \frac{k - m}{5k}$

Полученное выражение не всегда является целым числом и не содержит множителя $z$, а значит, в общем случае оно не делится на $z$. Например, если $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$, то $\frac{4-6}{5 \cdot 4} = \frac{-2}{20} = -0.1$, что не делится на $z=2$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

B) $\frac{6y}{x + y}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$:

$\frac{6y}{x + y} = \frac{6(mz)}{kz + mz} = \frac{6mz}{z(k + m)} = \frac{6m}{k + m}$

Как и в предыдущем случае, результат не всегда является целым числом и не обязан делиться на $z$. Для примера $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$ получаем $\frac{6 \cdot 6}{4+6} = \frac{36}{10} = 3.6$, что не делится на $z=2$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

C) $-4x + 3$ делится на $z$

Подставим $x = kz$:

$-4x + 3 = -4(kz) + 3 = z(-4k) + 3$

Это выражение будет делиться на $z$ только тогда, когда остаток от деления, равный 3, будет делиться на $z$. Это выполняется не для всех $z$. Например, если $z=5$ и $x=10$, то $-4(10)+3 = -37$, что не делится на 5. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

D) $-4x + 3y$ делится на $z$

Это утверждение следует из свойств делимости. Если некоторое число $a$ делится на $z$, то и произведение этого числа на любое целое ($c \cdot a$) также делится на $z$. Также, если два числа ($a$ и $b$) делятся на $z$, то их сумма ($a+b$) и разность ($a-b$) тоже делятся на $z$.

Поскольку $x$ делится на $z$, то и $-4x$ делится на $z$.

Поскольку $y$ делится на $z$, то и $3y$ делится на $z$.

Следовательно, их сумма $-4x+3y$ также делится на $z$.

Алгебраическая проверка: подставим $x=kz$ и $y=mz$:

$-4x + 3y = -4(kz) + 3(mz) = -4kz + 3mz = z(-4k + 3m)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то $(-4k + 3m)$ также является целым числом. Выражение имеет вид $z \cdot N$, где $N$ — целое число, что по определению означает, что оно делится на $z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

E) $\frac{x^3}{y^3}$ делится на $z$

Подставим $x = kz$ и $y = mz$:

$\frac{x^3}{y^3} = \frac{(kz)^3}{(mz)^3} = \frac{k^3 z^3}{m^3 z^3} = \frac{k^3}{m^3}$

Результат не зависит от $z$ и в общем случае не является целым числом, кратным $z$. Например, для $z=2, x=4 (k=2), y=6 (m=3)$ получаем $\frac{4^3}{6^3} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$, что не делится на 2. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

62. Используя диаграмму, найдите среднее арифметическое и размах товаров, изготовленных предприятием за пять дней (рис. 65):

A) среднее арифметическое — 1208, размах — 64;

B) среднее арифметическое — 1206, размах — 66;

C) среднее арифметическое — 1206, размах — 64;

D) среднее арифметическое — 1208, размах — 70;

E) среднее арифметическое — 1208, размах — 66.

Для решения задачи необходимо найти среднее арифметическое и размах для набора данных, представленных на диаграмме.

Выпишем значения количества изготовленных товаров за каждый из пяти дней:

Понедельник: 1237; Вторник: 1192; Среда: 1207; Четверг: 1173; Пятница: 1221.

Нахождение среднего арифметического

Среднее арифметическое вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. В данном случае у нас 5 значений (дней).

Сначала найдем сумму всех значений:

$1237 + 1192 + 1207 + 1173 + 1221 = 6030$

Теперь разделим полученную сумму на количество дней (5):

$Среднее\ арифметическое = \frac{6030}{5} = 1206$

Нахождение размаха

Размах ряда данных — это разность между максимальным и минимальным значениями в этом ряду.

Найдем максимальное и минимальное значения в наборе {1237, 1192, 1207, 1173, 1221}.

Максимальное значение: $max = 1237$.

Минимальное значение: $min = 1173$.

Вычислим размах:

$Размах = 1237 - 1173 = 64$

Таким образом, мы получили, что среднее арифметическое равно 1206, а размах — 64. Этот результат соответствует варианту C) в списке предложенных ответов.

Ответ: среднее арифметическое — 1206, размах — 64.

63. Количество шаров в ящике указаны в диаграмме (рис. 66).

Какова вероятность того, что наугад взятый шар будет не зеленым:

A) $\frac{6}{25}$; B) $\frac{7}{25}$; C) $0,8$; D) $\frac{3}{25}$; E) $0,5$?

Для того чтобы найти вероятность, необходимо сначала определить общее количество шаров в ящике и количество шаров, которые не являются зелеными (благоприятные исходы).

1. Определим количество шаров каждого цвета по данным диаграммы:

• Белые: 12
• Желтые: 8
• Зеленые: 10
• Красные: 6
• Синие: 14

2. Найдем общее количество шаров (n), сложив количество шаров всех цветов:

$n = 12 + 8 + 10 + 6 + 14 = 50$

Таким образом, в ящике всего 50 шаров.

3. Теперь найдем количество благоприятных исходов (m) — то есть, количество шаров, которые не являются зелеными. Для этого из общего количества шаров вычтем количество зеленых шаров.

$m = n - (\text{количество зеленых шаров}) = 50 - 10 = 40$

Альтернативно, можно сложить количество шаров всех цветов, кроме зеленого:

$m = 12 (\text{белые}) + 8 (\text{желтые}) + 6 (\text{красные}) + 14 (\text{синие}) = 40$

4. Вероятность события (P) вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где m — число благоприятных исходов, а n — общее число исходов.

Подставим наши значения:

$P(\text{не зеленый}) = \frac{40}{50}$

Сократим дробь:

$P(\text{не зеленый}) = \frac{4}{5} = 0,8$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) 0,8