Страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

53. Составьте все возможные сложные функции, если:

$g(x) = x^3 + 1;$ $\Phi(x) = \sqrt{x};$ $u(x) = \frac{2}{x}.$

Сложная функция (композиция функций) образуется путем подстановки одной функции в другую в качестве аргумента. Для заданных функций $g(x) = x^3 + 1$, $\Phi(x) = \sqrt{x}$ и $u(x) = \frac{2}{x}$ можно составить следующие сложные функции.

$g(\Phi(x))$

Подставляем $\Phi(x) = \sqrt{x}$ в функцию $g(x) = x^3 + 1$:

$g(\Phi(x)) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^3 + 1 = x\sqrt{x} + 1$.

Ответ: $g(\Phi(x)) = x\sqrt{x} + 1$.

$g(u(x))$

Подставляем $u(x) = \frac{2}{x}$ в функцию $g(x) = x^3 + 1$:

$g(u(x)) = g\left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{2}{x}\right)^3 + 1 = \frac{8}{x^3} + 1$.

Ответ: $g(u(x)) = \frac{8}{x^3} + 1$.

$\Phi(g(x))$

Подставляем $g(x) = x^3 + 1$ в функцию $\Phi(x) = \sqrt{x}$:

$\Phi(g(x)) = \Phi(x^3 + 1) = \sqrt{x^3 + 1}$.

Ответ: $\Phi(g(x)) = \sqrt{x^3 + 1}$.

$\Phi(u(x))$

Подставляем $u(x) = \frac{2}{x}$ в функцию $\Phi(x) = \sqrt{x}$:

$\Phi(u(x)) = \Phi\left(\frac{2}{x}\right) = \sqrt{\frac{2}{x}}$.

Ответ: $\Phi(u(x)) = \sqrt{\frac{2}{x}}$.

$u(g(x))$

Подставляем $g(x) = x^3 + 1$ в функцию $u(x) = \frac{2}{x}$:

$u(g(x)) = u(x^3 + 1) = \frac{2}{x^3 + 1}$.

Ответ: $u(g(x)) = \frac{2}{x^3 + 1}$.

$u(\Phi(x))$

Подставляем $\Phi(x) = \sqrt{x}$ в функцию $u(x) = \frac{2}{x}$:

$u(\Phi(x)) = u(\sqrt{x}) = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $u(\Phi(x)) = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

$g(g(x))$

Подставляем функцию $g(x)$ в саму себя:

$g(g(x)) = g(x^3 + 1) = (x^3 + 1)^3 + 1$.

Ответ: $g(g(x)) = (x^3 + 1)^3 + 1$.

$\Phi(\Phi(x))$

Подставляем функцию $\Phi(x)$ в саму себя:

$\Phi(\Phi(x)) = \Phi(\sqrt{x}) = \sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}$.

Ответ: $\Phi(\Phi(x)) = \sqrt[4]{x}$.

$u(u(x))$

Подставляем функцию $u(x)$ в саму себя:

$u(u(x)) = u\left(\frac{2}{x}\right) = \frac{2}{\frac{2}{x}} = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

Область определения исходной функции $u(x)$ — $x \neq 0$, поэтому и композиция определена при $x \neq 0$.

Ответ: $u(u(x)) = x$ (при $x \neq 0$).

54. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $y=x^2-3x+4, x_0=1;$

б) $y=4-x^2, x_0=-1;$

в) $y=x^3+2x-1, x_0=0;$

г) $y=\frac{1}{3}x^3-2x^2+3x+1, x_0=3.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) $y = x^2 - 3x + 4, x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 - 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 - 3 = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = 2$ и $f'(1) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-1)(x - 1)$

$y = 2 - x + 1$

$y = -x + 3$

Ответ: $y = -x + 3$.

б) $y = 4 - x^2, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(-1) = 3$ и $f'(-1) = 2$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 2(x - (-1))$

$y = 3 + 2(x + 1)$

$y = 3 + 2x + 2$

$y = 2x + 5$

Ответ: $y = 2x + 5$.

в) $y = x^3 + 2x - 1, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 - 1 = -1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 2x - 1)' = 3x^2 + 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 3 \cdot 0^2 + 2 = 2$.

4. Подставим найденные значения $f(0) = -1$ и $f'(0) = 2$ в уравнение касательной:

$y = -1 + 2(x - 0)$

$y = 2x - 1$

Ответ: $y = 2x - 1$.

г) $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1, x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 = \frac{1}{3} \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 9 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 3 = x^2 - 4x + 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$.

4. Подставим найденные значения $f(3) = 1$ и $f'(3) = 0$ в уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 3)$

$y = 1$

Ответ: $y = 1$.

55. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе $y = x^2 - 3x + 5$, проведенная в точке $M(2; 3)$? Составьте уравнение этой касательной.

Нахождение угла наклона касательной

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс, определяется ее угловым коэффициентом $k$. Угловой коэффициент, в свою очередь, равен значению производной функции в точке касания. Формула, связывающая угол наклона $\alpha$ и угловой коэффициент $k$, выглядит так: $k = \tan(\alpha)$.

Дана парабола, заданная функцией $y = x^2 - 3x + 5$. Точка касания — $M(2; 3)$. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = (x^2 - 3x + 5)' = 2x - 3$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$, чтобы найти угловой коэффициент $k$: $k = y'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

3. Теперь найдем угол $\alpha$, зная, что его тангенс равен угловому коэффициенту: $\tan(\alpha) = k = 1$.

Отсюда, угол $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$ (или $\frac{\pi}{4}$ в радианах).

Ответ: Касательная образует с осью абсцисс угол в $45^\circ$.

Составление уравнения касательной

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.

У нас есть все необходимые данные:

• Координаты точки касания: $x_0 = 2$, $y_0 = 3$.
• Значение производной в точке касания (угловой коэффициент): $f'(x_0) = 1$.

Упростим полученное выражение, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$: $y - 3 = x - 2$

$y = x - 2 + 3$

$y = x + 1$.

Ответ: Уравнение касательной: $y = x + 1$.

56. Найдите угол, образованный с осью $Ox$ и касательной к графику функции $y(x) = x^2 - 2x + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси $Ox$, можно найти через тангенс этого угла. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания. Это следует из геометрического смысла производной.

Дана функция $y(x) = x^2 - 2x + 3$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 2$.

1. Найдем производную функции $y(x)$.

Используя правила дифференцирования для степенной функции и суммы функций, получаем:

$y'(x) = (x^2 - 2x + 3)' = (x^2)' - (2x)' + (3)' = 2x - 2 + 0 = 2x - 2$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$.

Значение производной в этой точке равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

$k = y'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

3. Найдем угол $\alpha$.

Угловой коэффициент $k$ касательной равен тангенсу угла $\alpha$ ее наклона к оси $Ox$: $k = \tan(\alpha)$.

В нашем случае, $\tan(\alpha) = 2$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арктангенсу числа 2.

$\alpha = \arctan(2)$.

Ответ: $\arctan(2)$.

57. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $y = \operatorname{ctg} x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

б) $y = \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

а)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $y = \text{ctg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$ необходимо последовательно найти $f(x_0)$, $f'(x)$ и $f'(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})} = -\frac{1}{(1/2)^2} = -\frac{1}{1/4} = -4$.

4. Подставим все найденные значения в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + (-4)(x - \frac{\pi}{6})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sqrt{3} - 4x + 4 \cdot \frac{\pi}{6}$

$y = \sqrt{3} - 4x + \frac{2\pi}{3}$

$y = -4x + \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Ответ: $y = -4x + \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

б)

Используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $y = \text{tg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ найдем необходимые значения.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{(1/2)^2} = \frac{1}{1/4} = 4$.

4. Подставим значения в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + 4(x - \frac{\pi}{3})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sqrt{3} + 4x - \frac{4\pi}{3}$

$y = 4x - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Ответ: $y = 4x - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$.

58. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = 2x - x^2$;

б) $y = x^2 + 7$;

в) $y = x^3 - 3x + 10;

г) $y = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 11;

д) $y = \frac{x}{x+1}$;

е) $y = \frac{x+1}{x}$;

ж) $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1;

з) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2$.

а) Для функции $y = 2x - x^2$ находим промежутки возрастания и убывания.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции: $y' = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

3. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю: $y' = 0$. Получаем уравнение $2 - 2x = 0$, откуда $x = 1$. Это единственная критическая точка.

4. Критическая точка $x=1$ делит числовую прямую на два интервала: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. Если $y' > 0$, функция возрастает, если $y' < 0$ — убывает.

- На интервале $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, $y'(0) = 2 - 2 \cdot 0 = 2 > 0$. Значит, функция возрастает.

- На интервале $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $y'(2) = 2 - 2 \cdot 2 = -2 < 0$. Значит, функция убывает.

Включая критическую точку в промежутки, получаем, что функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$; промежуток убывания: $[1, +\infty)$.

б) Для функции $y = x^2 + 7$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (x^2 + 7)' = 2x$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' = 2x < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0; +\infty)$, $y' = 2x > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.

в) Для функции $y = x^3 - 3x + 10$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (x^3 - 3x + 10)' = 3x^2 - 3$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies 3x^2 - 3 = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies x = -1$ и $x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. График $y' = 3x^2 - 3$ — парабола с ветвями вверх.

- При $x \in (-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $[-1, 1]$.

г) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 - 9x - 11$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (\frac{1}{3}x^3 - 9x - 11)' = x^2 - 9$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies x = -3$ и $x = 3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-3; 3)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[3, +\infty)$; промежуток убывания: $[-3, 3]$.

д) Для функции $y = \frac{x}{x+1}$.

1. Область определения: знаменатель не равен нулю, т.е. $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Производная (по правилу частного): $y' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

3. Уравнение $y' = 0$ решений не имеет. Производная не определена в точке $x=-1$, которая не входит в область определения. Критических точек нет.

4. Знак производной $y' = \frac{1}{(x+1)^2}$ положителен при всех $x$ из области определения, так как числитель положителен и знаменатель является полным квадратом.

Следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$; промежутков убывания нет.

е) Для функции $y = \frac{x+1}{x}$.

1. Область определения: $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Преобразуем функцию: $y = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$. Находим производную: $y' = (1 + x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

3. Уравнение $y' = 0$ решений не имеет. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Критических точек нет.

4. Знак производной $y' = -\frac{1}{x^2}$ отрицателен при всех $x$ из области определения, так как $x^2>0$.

Следовательно, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: промежутков возрастания нет; промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

ж) Для функции $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1)' = x^2 + x - 6$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-3; 2)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $[-3, 2]$.

з) Для функции $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2$.

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная: $y' = (-\frac{1}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + 2)' = -x^2 + 7x - 6$.

3. Критические точки: $y' = 0 \implies -x^2 + 7x - 6 = 0 \implies x^2 - 7x + 6 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 6$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; 1)$, $(1; 6)$ и $(6; +\infty)$. График $y' = -x^2 + 7x - 6$ — парабола с ветвями вниз.

- При $x \in (-\infty; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.

- При $x \in (1; 6)$, $y' > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (6; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Ответ: промежуток возрастания: $[1, 6]$; промежутки убывания: $(-\infty, 1]$ и $[6, +\infty)$.

59. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на экстремум:

а) $y = 8 - x^2$;

б) $y = x^3 + 6x$;

в) $y = x^4 - 2x^2 + 1$;

г) $y = 4x - x^4$;

д) $y = x^3 + x^2 - 8x + 1;

е) $y = \frac{4}{3}x^3 + 24x - 3$;

ж) $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$;

з) $y = 3x - \frac{27}{2 - x^2}$.

а) $y = 8 - x^2$

Для исследования функции на экстремум найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции: $y' = (8 - x^2)' = -2x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит числовую ось.

При $x \in (-\infty; 0)$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.

При $x \in (0; +\infty)$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке максимума: $y_{max} = y(0) = 8 - 0^2 = 8$.

Ответ: точка максимума $x=0$, $y_{max}=8$.

б) $y = x^3 + 6x$

Область определения функции — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (x^3 + 6x)' = 3x^2 + 6$.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$: $3x^2 + 6 = 0 \Rightarrow 3x^2 = -6 \Rightarrow x^2 = -2$.

Данное уравнение не имеет действительных корней. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, производная $y' = 3x^2 + 6$ всегда положительна ($y' \ge 6$).

Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой оси и не имеет точек экстремума.

Ответ: экстремумов нет.

в) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

Критические точки найдем из условия $y' = 0$: $4x(x-1)(x+1) = 0$, откуда $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Исследуем знаки производной на интервалах:

При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (-1; 0)$, $y' > 0$ (функция возрастает).

При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$ (функция возрастает).

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 1$.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Ответ: точки минимума $x=-1$ и $x=1$, $y_{min}=0$; точка максимума $x=0$, $y_{max}=1$.

г) $y = 4x - x^4$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (4x - x^4)' = 4 - 4x^3 = 4(1 - x^3)$.

Критическая точка: $y' = 0 \Rightarrow 1 - x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$.

При $x < 1$, $1 - x^3 > 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

При $x > 1$, $1 - x^3 < 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

$y_{max} = y(1) = 4(1) - 1^4 = 3$.

Ответ: точка максимума $x=1$, $y_{max}=3$.

д) $y = x^3 + x^2 - 8x + 1$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (x^3 + x^2 - 8x + 1)' = 3x^2 + 2x - 8$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow 3x^2 + 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$.

Корни: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$, $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

График производной $y'$ — парабола с ветвями вверх, поэтому $y' > 0$ на $(-\infty; -2) \cup (4/3; +\infty)$ и $y' < 0$ на $(-2; 4/3)$.

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-» — точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 8(-2) + 1 = -8 + 4 + 16 + 1 = 13$.

В точке $x = 4/3$ производная меняет знак с «-» на «+» — точка минимума. $y_{min} = y(\frac{4}{3}) = (\frac{4}{3})^3 + (\frac{4}{3})^2 - 8(\frac{4}{3}) + 1 = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} + 1 = \frac{64 + 48 - 288 + 27}{27} = -\frac{149}{27}$.

Ответ: точка максимума $x=-2$, $y_{max}=13$; точка минимума $x=4/3$, $y_{min}=-149/27$.

е) $y = \frac{4}{3}x^3 + 24x - 3$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Производная: $y' = (\frac{4}{3}x^3 + 24x - 3)' = \frac{4}{3} \cdot 3x^2 + 24 = 4x^2 + 24$.

Уравнение $y' = 0$ ($4x^2 + 24 = 0$ или $x^2 = -6$) не имеет действительных корней.

Так как $y' = 4x^2 + 24 > 0$ для всех $x$, функция монотонно возрастает на всей области определения и не имеет экстремумов.

Ответ: экстремумов нет.

ж) $y = \frac{3x}{x^2 + 1}$

Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при любых $x$.

Найдем производную по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \frac{(3x)'(x^2+1) - 3x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{3(x^2+1) - 3x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3-6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3-3x^2}{(x^2+1)^2}$.

Критические точки: $y' = 0 \Rightarrow 3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.

Знак производной определяется знаком числителя $3(1-x^2)$.

При $x \in (-\infty; -1)$, $y' < 0$ (убывает).

При $x \in (-1; 1)$, $y' > 0$ (возрастает).

При $x \in (1; +\infty)$, $y' < 0$ (убывает).

В точке $x = -1$ смена знака с «-» на «+» — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = \frac{3(-1)}{(-1)^2+1} = -\frac{3}{2}$.

В точке $x = 1$ смена знака с «+» на «-» — точка максимума. $y_{max} = y(1) = \frac{3(1)}{1^2+1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: точка минимума $x=-1$, $y_{min}=-3/2$; точка максимума $x=1$, $y_{max}=3/2$.

з) $y = 3x - \frac{27}{2 - x^2}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $2 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{2}$.$D(y) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Найдем производную: $y' = (3x - 27(2 - x^2)^{-1})' = 3 - 27(-1)(2 - x^2)^{-2}(-2x) = 3 - \frac{54x}{(2 - x^2)^2}$.

Критические точки найдем из условия $y' = 0$: $3 = \frac{54x}{(2 - x^2)^2} \Rightarrow 3(2 - x^2)^2 = 54x \Rightarrow (2 - x^2)^2 = 18x$.

Раскрыв скобки, получим уравнение четвертой степени: $x^4 - 4x^2 + 4 = 18x$, или $x^4 - 4x^2 - 18x + 4 = 0$.

Это уравнение не имеет простых рациональных корней, и его решение в явном виде затруднительно. Однако, можно проанализировать поведение производной. Анализ показывает, что уравнение $y'=0$ имеет два действительных корня: $x_1$ и $x_2$.

Исследуем знаки производной на интервалах, учитывая точки разрыва $x=\pm\sqrt{2}$:

При $x=0$, $y'(0)=3 > 0$. При $x=1$, $y'(1) = 3-54=-51<0$. Значит, есть корень $x_1 \in (0;1)$, в котором знак $y'$ меняется с «+» на «-». Это точка локального максимума.

При $x=3$, $y'(3) = 3 - \frac{54 \cdot 3}{(2-9)^2} = 3 - \frac{162}{49} < 0$. При $x=4$, $y'(4) = 3 - \frac{54 \cdot 4}{(2-16)^2} = 3 - \frac{216}{196} > 0$. Значит, есть корень $x_2 \in (3;4)$, в котором знак $y'$ меняется с «-» на «+». Это точка локального минимума.

Ответ: функция имеет точку локального максимума $x_1 \in (0; 1)$ и точку локального минимума $x_2 \in (3; 4)$.

60. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = x^2 - 10x + 9;$

б) $y = x^3 + 9x;$

в) $y = -x^2 + 4x;$

г) $y = 6x^2 - x^3;$

д) $y = \frac{x}{x+1};$

е) $y = \frac{x}{1+x^2}.$

а) $y = x^2 - 10x + 9$

1. Область определения. Функция является квадратичной (многочлен), поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^2 - 10(-x) + 9 = x^2 + 10x + 9$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 10(0) + 9 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.

- С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(9, 0)$.

4. Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^2 - 10x + 9)' = 2x - 10$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 10 = 0 \implies x = 5$. Это критическая точка.

- При $x < 5$, $y' < 0$, функция убывает на интервале $(-\infty, 5)$.

- При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает на интервале $(5, +\infty)$.

В точке $x=5$ функция имеет минимум. Значение функции в точке минимума: $y_{min} = 5^2 - 10(5) + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$. Точка минимума (вершина параболы): $(5, -16)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (2x - 10)' = 2$.

Так как $y'' = 2 > 0$ для всех $x$, график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(5, -16)$. График пересекает ось OY в точке $(0, 9)$ и ось OX в точках $(1, 0)$ и $(9, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(5, -16)$ и ветвями вверх. Функция убывает на $(-\infty, 5]$ и возрастает на $[5, +\infty)$. Точка минимума $(5, -16)$. График выпуклый вниз на всей области определения. Точки пересечения с осями: $(1, 0)$, $(9, 0)$ и $(0, 9)$.

б) $y = x^3 + 9x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 + 9(-x) = -x^3 - 9x = -(x^3 + 9x) = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

- При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

- При $y=0$, $x^3 + 9x = 0 \implies x(x^2 + 9) = 0$. Единственный действительный корень $x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (x^3 + 9x)' = 3x^2 + 9$.

Так как $3x^2 \ge 0$, то $y' = 3x^2 + 9 > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = (3x^2 + 9)' = 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x = 0 \implies x = 0$.

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (выпуклый).

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

В точке $x=0$ происходит смена направления выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Функция возрастает на всей числовой оси, симметрична относительно начала координат.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, +\infty)$, экстремумов нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 0)$. График симметричен относительно начала координат.

в) $y = -x^2 + 4x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^2 + 4(-x) = -x^2 - 4x$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \implies y = 0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \implies -x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

$y'=0 \implies -2x + 4 = 0 \implies x=2$.

- При $x < 2$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 2)$.

- При $x > 2$, $y' < 0$, функция убывает на $(2, +\infty)$.

В точке $x=2$ функция имеет максимум. $y_{max} = -(2^2) + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Точка максимума (вершина параболы): $(2, 4)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости. $y'' = (-2x + 4)' = -2$.

Так как $y'' = -2 < 0$ для всех $x$, график функции является выпуклым вверх (выпуклым) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(2, 4)$. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз. Функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$. Точка максимума $(2, 4)$. График выпуклый вверх на всей области определения. Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

г) $y = 6x^2 - x^3$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = 6(-x)^2 - (-x)^3 = 6x^2 + x^3$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \implies 6x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(6-x) = 0$. Корни $x_1=0$ (кратность 2), $x_2=6$. Точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$. В точке $(0,0)$ график касается оси OX.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2 = 3x(4-x)$.

$y'=0 \implies x=0$ или $x=4$.

- Убывает на $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.

- Возрастает на $(0, 4)$.

Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точка $(0, 0)$.

Точка максимума $x=4$, $y_{max} = 6(4^2) - 4^3 = 96 - 64 = 32$. Точка $(4, 32)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x$.

$y''=0 \implies 12 - 6x = 0 \implies x=2$.

- При $x < 2$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x > 2$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба $x=2$. $y(2) = 6(2^2) - 2^3 = 24 - 8 = 16$. Точка $(2, 16)$.

Ответ: Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(4, 32)$. Точка перегиба $(2, 16)$. Функция убывает на $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$, возрастает на $[0, 4]$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2)$ и выпуклый вверх на $(2, +\infty)$. Пересечение с осями в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

д) $y = \frac{x}{x+1}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \frac{-x}{-x+1}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат. $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=-1$. $\lim_{x \to -1^-} y = +\infty$, $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$.

- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1+1/x} = 1$. $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

$y' > 0$ на всей области определения. Функция возрастает на $(-\infty, -1)$ и на $(-1, +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости. $y'' = \left((x+1)^{-2}\right)' = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}$.

- При $x < -1$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x > -1$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

Точек перегиба нет.

Ответ: Область определения $(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$. Вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$. Функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет. График выпуклый вниз на $(-\infty, -1)$ и выпуклый вверх на $(-1, +\infty)$. Пересекает оси в точке $(0, 0)$.

е) $y = \frac{x}{1+x^2}$

1. Область определения. $1+x^2 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \frac{-x}{1+(-x)^2} = -\frac{x}{1+x^2} = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальных асимптот нет.

- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$. $y=0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

$y'=0 \implies 1-x^2=0 \implies x=\pm 1$.

- Убывает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

- Возрастает на $(-1, 1)$.

Точка минимума $x=-1$, $y_{min} = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -1/2$. Точка $(-1, -1/2)$.

Точка максимума $x=1$, $y_{max} = \frac{1}{1+1^2} = 1/2$. Точка $(1, 1/2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$.

$y''=0 \implies 2x(x^2-3)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{3}$.

- Выпуклый вверх на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

- Выпуклый вниз на $(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

Точки перегиба: $x=0 \implies y=0$, точка $(0,0)$. $x=\pm\sqrt{3} \implies y=\pm\frac{\sqrt{3}}{4}$, точки $(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})$.

Ответ: Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Горизонтальная асимптота $y=0$. Точка минимума $(-1, -1/2)$, точка максимума $(1, 1/2)$. Точки перегиба $(0, 0)$, $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}/4)$, $(\sqrt{3}, \sqrt{3}/4)$.