Номер 57, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

57. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

a) $y = \operatorname{ctg} x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

б) $y = \operatorname{tg} x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

а)

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для функции $y = \text{ctg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$ необходимо последовательно найти $f(x_0)$, $f'(x)$ и $f'(x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{ctg}\,x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})} = -\frac{1}{(1/2)^2} = -\frac{1}{1/4} = -4$.

4. Подставим все найденные значения в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + (-4)(x - \frac{\pi}{6})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sqrt{3} - 4x + 4 \cdot \frac{\pi}{6}$

$y = \sqrt{3} - 4x + \frac{2\pi}{3}$

$y = -4x + \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Ответ: $y = -4x + \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$.

б)

Используем ту же формулу уравнения касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $y = \text{tg}\,x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$ найдем необходимые значения.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{3}) = \text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\text{tg}\,x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

3. Найдем значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{3})} = \frac{1}{(1/2)^2} = \frac{1}{1/4} = 4$.

4. Подставим значения в уравнение касательной:

$y = \sqrt{3} + 4(x - \frac{\pi}{3})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = \sqrt{3} + 4x - \frac{4\pi}{3}$

$y = 4x - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$.

Ответ: $y = 4x - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3}$.