Номер 60, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

60. Исследуйте функцию и постройте ее график:

а) $y = x^2 - 10x + 9;$

б) $y = x^3 + 9x;$

в) $y = -x^2 + 4x;$

г) $y = 6x^2 - x^3;$

д) $y = \frac{x}{x+1};$

е) $y = \frac{x}{1+x^2}.$

а) $y = x^2 - 10x + 9$

1. Область определения. Функция является квадратичной (многочлен), поэтому ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^2 - 10(-x) + 9 = x^2 + 10x + 9$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 - 10(0) + 9 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.

- С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 10x + 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(9, 0)$.

4. Асимптоты. Так как функция является многочленом, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^2 - 10x + 9)' = 2x - 10$.

Приравняем производную к нулю: $2x - 10 = 0 \implies x = 5$. Это критическая точка.

- При $x < 5$, $y' < 0$, функция убывает на интервале $(-\infty, 5)$.

- При $x > 5$, $y' > 0$, функция возрастает на интервале $(5, +\infty)$.

В точке $x=5$ функция имеет минимум. Значение функции в точке минимума: $y_{min} = 5^2 - 10(5) + 9 = 25 - 50 + 9 = -16$. Точка минимума (вершина параболы): $(5, -16)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (2x - 10)' = 2$.

Так как $y'' = 2 > 0$ для всех $x$, график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина находится в точке $(5, -16)$. График пересекает ось OY в точке $(0, 9)$ и ось OX в точках $(1, 0)$ и $(9, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(5, -16)$ и ветвями вверх. Функция убывает на $(-\infty, 5]$ и возрастает на $[5, +\infty)$. Точка минимума $(5, -16)$. График выпуклый вниз на всей области определения. Точки пересечения с осями: $(1, 0)$, $(9, 0)$ и $(0, 9)$.

б) $y = x^3 + 9x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 + 9(-x) = -x^3 - 9x = -(x^3 + 9x) = -y(x)$. Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

- При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

- При $y=0$, $x^3 + 9x = 0 \implies x(x^2 + 9) = 0$. Единственный действительный корень $x=0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (x^3 + 9x)' = 3x^2 + 9$.

Так как $3x^2 \ge 0$, то $y' = 3x^2 + 9 > 0$ для всех $x$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = (3x^2 + 9)' = 6x$.

Приравняем вторую производную к нулю: $6x = 0 \implies x = 0$.

- При $x < 0$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (выпуклый).

- При $x > 0$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).

В точке $x=0$ происходит смена направления выпуклости, значит, это точка перегиба. $y(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Функция возрастает на всей числовой оси, симметрична относительно начала координат.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, +\infty)$, экстремумов нет. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 0)$. График симметричен относительно начала координат.

в) $y = -x^2 + 4x$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^2 + 4(-x) = -x^2 - 4x$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \implies y = 0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \implies -x^2 + 4x = 0 \implies -x(x-4) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

$y'=0 \implies -2x + 4 = 0 \implies x=2$.

- При $x < 2$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 2)$.

- При $x > 2$, $y' < 0$, функция убывает на $(2, +\infty)$.

В точке $x=2$ функция имеет максимум. $y_{max} = -(2^2) + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Точка максимума (вершина параболы): $(2, 4)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости. $y'' = (-2x + 4)' = -2$.

Так как $y'' = -2 < 0$ для всех $x$, график функции является выпуклым вверх (выпуклым) на всей области определения. Точек перегиба нет.

7. Построение графика. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке $(2, 4)$. График проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз. Функция возрастает на $(-\infty, 2]$ и убывает на $[2, +\infty)$. Точка максимума $(2, 4)$. График выпуклый вверх на всей области определения. Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

г) $y = 6x^2 - x^3$

1. Область определения. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = 6(-x)^2 - (-x)^3 = 6x^2 + x^3$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

- С осью OY: $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

- С осью OX: $y=0 \implies 6x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(6-x) = 0$. Корни $x_1=0$ (кратность 2), $x_2=6$. Точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$. В точке $(0,0)$ график касается оси OX.

4. Асимптоты. Асимптоты отсутствуют.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = (6x^2 - x^3)' = 12x - 3x^2 = 3x(4-x)$.

$y'=0 \implies x=0$ или $x=4$.

- Убывает на $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.

- Возрастает на $(0, 4)$.

Точка минимума $x=0$, $y_{min}=0$. Точка $(0, 0)$.

Точка максимума $x=4$, $y_{max} = 6(4^2) - 4^3 = 96 - 64 = 32$. Точка $(4, 32)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = (12x - 3x^2)' = 12 - 6x$.

$y''=0 \implies 12 - 6x = 0 \implies x=2$.

- При $x < 2$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x > 2$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

Точка перегиба $x=2$. $y(2) = 6(2^2) - 2^3 = 24 - 8 = 16$. Точка $(2, 16)$.

Ответ: Точка минимума $(0, 0)$, точка максимума $(4, 32)$. Точка перегиба $(2, 16)$. Функция убывает на $(-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$, возрастает на $[0, 4]$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2)$ и выпуклый вверх на $(2, +\infty)$. Пересечение с осями в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

д) $y = \frac{x}{x+1}$

1. Область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \frac{-x}{-x+1}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат. $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: $x=-1$. $\lim_{x \to -1^-} y = +\infty$, $\lim_{x \to -1^+} y = -\infty$.

- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1+1/x} = 1$. $y=1$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

$y' > 0$ на всей области определения. Функция возрастает на $(-\infty, -1)$ и на $(-1, +\infty)$. Экстремумов нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости. $y'' = \left((x+1)^{-2}\right)' = -2(x+1)^{-3} = \frac{-2}{(x+1)^3}$.

- При $x < -1$, $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

- При $x > -1$, $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

Точек перегиба нет.

Ответ: Область определения $(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$. Вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=1$. Функция возрастает на всей области определения. Экстремумов нет. График выпуклый вниз на $(-\infty, -1)$ и выпуклый вверх на $(-1, +\infty)$. Пересекает оси в точке $(0, 0)$.

е) $y = \frac{x}{1+x^2}$

1. Область определения. $1+x^2 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $y(-x) = \frac{-x}{1+(-x)^2} = -\frac{x}{1+x^2} = -y(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $x=0 \implies y=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

- Вертикальных асимптот нет.

- Горизонтальная асимптота: $y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$. $y=0$.

5. Промежутки возрастания и убывания, экстремумы. $y' = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

$y'=0 \implies 1-x^2=0 \implies x=\pm 1$.

- Убывает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

- Возрастает на $(-1, 1)$.

Точка минимума $x=-1$, $y_{min} = \frac{-1}{1+(-1)^2} = -1/2$. Точка $(-1, -1/2)$.

Точка максимума $x=1$, $y_{max} = \frac{1}{1+1^2} = 1/2$. Точка $(1, 1/2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. $y'' = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2) \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = \frac{2x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}$.

$y''=0 \implies 2x(x^2-3)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{3}$.

- Выпуклый вверх на $(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

- Выпуклый вниз на $(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

Точки перегиба: $x=0 \implies y=0$, точка $(0,0)$. $x=\pm\sqrt{3} \implies y=\pm\frac{\sqrt{3}}{4}$, точки $(\pm\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{4})$.

Ответ: Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Горизонтальная асимптота $y=0$. Точка минимума $(-1, -1/2)$, точка максимума $(1, 1/2)$. Точки перегиба $(0, 0)$, $(-\sqrt{3}, -\sqrt{3}/4)$, $(\sqrt{3}, \sqrt{3}/4)$.