Номер 53, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

53. Составьте все возможные сложные функции, если:

$g(x) = x^3 + 1;$ $\Phi(x) = \sqrt{x};$ $u(x) = \frac{2}{x}.$

Сложная функция (композиция функций) образуется путем подстановки одной функции в другую в качестве аргумента. Для заданных функций $g(x) = x^3 + 1$, $\Phi(x) = \sqrt{x}$ и $u(x) = \frac{2}{x}$ можно составить следующие сложные функции.

$g(\Phi(x))$

Подставляем $\Phi(x) = \sqrt{x}$ в функцию $g(x) = x^3 + 1$:

$g(\Phi(x)) = g(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^3 + 1 = x\sqrt{x} + 1$.

Ответ: $g(\Phi(x)) = x\sqrt{x} + 1$.

$g(u(x))$

Подставляем $u(x) = \frac{2}{x}$ в функцию $g(x) = x^3 + 1$:

$g(u(x)) = g\left(\frac{2}{x}\right) = \left(\frac{2}{x}\right)^3 + 1 = \frac{8}{x^3} + 1$.

Ответ: $g(u(x)) = \frac{8}{x^3} + 1$.

$\Phi(g(x))$

Подставляем $g(x) = x^3 + 1$ в функцию $\Phi(x) = \sqrt{x}$:

$\Phi(g(x)) = \Phi(x^3 + 1) = \sqrt{x^3 + 1}$.

Ответ: $\Phi(g(x)) = \sqrt{x^3 + 1}$.

$\Phi(u(x))$

Подставляем $u(x) = \frac{2}{x}$ в функцию $\Phi(x) = \sqrt{x}$:

$\Phi(u(x)) = \Phi\left(\frac{2}{x}\right) = \sqrt{\frac{2}{x}}$.

Ответ: $\Phi(u(x)) = \sqrt{\frac{2}{x}}$.

$u(g(x))$

Подставляем $g(x) = x^3 + 1$ в функцию $u(x) = \frac{2}{x}$:

$u(g(x)) = u(x^3 + 1) = \frac{2}{x^3 + 1}$.

Ответ: $u(g(x)) = \frac{2}{x^3 + 1}$.

$u(\Phi(x))$

Подставляем $\Phi(x) = \sqrt{x}$ в функцию $u(x) = \frac{2}{x}$:

$u(\Phi(x)) = u(\sqrt{x}) = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $u(\Phi(x)) = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

$g(g(x))$

Подставляем функцию $g(x)$ в саму себя:

$g(g(x)) = g(x^3 + 1) = (x^3 + 1)^3 + 1$.

Ответ: $g(g(x)) = (x^3 + 1)^3 + 1$.

$\Phi(\Phi(x))$

Подставляем функцию $\Phi(x)$ в саму себя:

$\Phi(\Phi(x)) = \Phi(\sqrt{x}) = \sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}$.

Ответ: $\Phi(\Phi(x)) = \sqrt[4]{x}$.

$u(u(x))$

Подставляем функцию $u(x)$ в саму себя:

$u(u(x)) = u\left(\frac{2}{x}\right) = \frac{2}{\frac{2}{x}} = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.

Область определения исходной функции $u(x)$ — $x \neq 0$, поэтому и композиция определена при $x \neq 0$.

Ответ: $u(u(x)) = x$ (при $x \neq 0$).