Номер 48, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

48. Найдите период функции:

а) $y = 3\cos(3x)$;

б) $y = 2\sin\frac{1}{x}$;

в) $y = -4\operatorname{tg}(x + 2)$;

г) $y = \operatorname{ctg}(3 - 2x)$.

а)Период функции вида $y = A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cos(x)$, который равен $2\pi$.Для функции $y=3\cos3x$ коэффициент при $x$ равен $k=3$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

б)Функция является периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.Рассмотрим поведение функции $y = 2\sin\frac{1}{x}$ при $x \to \infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, аргумент синуса $\frac{1}{x}$ стремится к нулю.Следовательно, предел функции при $x \to \infty$ равен $\lim_{x\to\infty} 2\sin\frac{1}{x} = 2\sin(0) = 0$.Периодическая функция может иметь конечный предел на бесконечности только в том случае, если она является постоянной (константой).Данная функция не является постоянной, так как её значения меняются (например, при $x = \frac{2}{\pi}$, $y=2\sin(\frac{\pi}{2})=2$).Поэтому функция $y = 2\sin\frac{1}{x}$ не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в)Период функции вида $y = A\tan(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\tan(x)$, который равен $\pi$.Для функции $y=-4\tan(x+2)$ аргумент тангенса можно представить в виде $1 \cdot x + 2$. Коэффициент при $x$ равен $k=1$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г)Период функции вида $y = A\cot(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cot(x)$, который равен $\pi$.Для функции $y=\cot(3-2x)$ аргумент котангенса можно представить в виде $-2x+3$. Коэффициент при $x$ равен $k=-2$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$