Номер 45, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

45. Постройте график функции $y = x^2$ на отрезке $[0; 3]$. Продолжите данный график, если функция:

а) четная;

б) нечетная;

в) ни четная, ни нечетная.

Сначала построим график функции $y=x^2$ на отрезке $[0; 3]$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек:

При $x=0$, $y=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.

При $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.

При $x=2$, $y=2^2=4$. Точка $(2, 4)$.

При $x=3$, $y=3^2=9$. Точка $(3, 9)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график на отрезке $[0; 3]$. Теперь продолжим этот график в соответствии с условиями задачи.

а) четная;

Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Область определения должна быть симметрична относительно нуля, то есть в нашем случае это будет отрезок $[-3; 3]$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы продолжить график, нужно отразить существующую часть графика (на отрезке $[0; 3]$) симметрично относительно оси OY на отрезок $[-3; 0]$. При этом для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике появится точка $(-x, y)$ на продолжении. Например, точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, 4)$, а точка $(3, 9)$ — в точку $(-3, 9)$.

В результате мы получим полную параболу $y=x^2$ на отрезке $[-3; 3]$.

Ответ: График на отрезке $[-3; 0]$ является зеркальным отражением графика на отрезке $[0; 3]$ относительно оси OY. Итоговый график на отрезке $[-3; 3]$ — это парабола $y=x^2$.

б) нечетная;

Нечетная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. Область определения также должна быть симметрична относительно нуля, то есть $[-3; 3]$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы продолжить график, нужно отразить существующую часть графика (на отрезке $[0; 3]$) симметрично относительно начала координат на отрезок $[-3; 0]$. При этом для каждой точки $(x, y)$ на исходном графике появится точка $(-x, -y)$ на продолжении. Например, точка $(2, 4)$ отразится в точку $(-2, -4)$, а точка $(3, 9)$ — в точку $(-3, -9)$.

На отрезке $[-3; 0]$ функция будет задаваться формулой $y=-(-x)^2 = -x^2$.

Ответ: График на отрезке $[-3; 0]$ является отражением графика на отрезке $[0; 3]$ относительно начала координат. Итоговая функция задается кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \in [0, 3] \\ -x^2, & \text{если } x \in [-3, 0) \end{cases}$

в) ни четная, ни нечетная.

Функция не является ни четной, ни нечетной, если ее график не обладает симметрией ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Это означает, что мы можем продолжить график на отрезок $[-3; 0]$ множеством способов, лишь бы не создавалась ни одна из указанных симметрий.

Приведем один из возможных примеров. Продолжим график на отрезке $[-3; 0]$ отрезком прямой, соединяющим точку $(0, 0)$ и, например, точку $(-3, 6)$. Уравнение этой прямой: $y = -2x$.

Тогда итоговая функция будет задана кусочно: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \in [0, 3] \\ -2x, & \text{если } x \in [-3, 0) \end{cases}$

Проверим. $f(2)=4$, а $f(-2)=-2(-2)=4$. Здесь $f(-2)=f(2)$, но $f(3)=9$, а $f(-3)=-2(-3)=6$. Так как $f(-3) \neq f(3)$, функция не является четной. Также она не является нечетной, так как $f(-2) \neq -f(2)$, ведь $4 \neq -4$.

Ответ: Можно продолжить график на отрезке $[-3; 0]$ любым способом, нарушающим симметрию относительно оси OY и начала координат. Например, можно соединить точку $(0,0)$ с точкой $(-3,6)$ отрезком прямой.