Номер 39, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

39. Решите неравенство $f'(x) < g'(x)$, если:

а) $f(x) = -x^2 + x$, $g(x) = x - 10$;

б) $f(x) = x^3 - x^2$, $g(x) = 3x - x^2$;

в) $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = -x$;

г) $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$, $g(x) = 6x + \frac{2}{x}$.

а) Даны функции $f(x) = -x^2 + x$ и $g(x) = x - 10$.

Сначала найдем производные этих функций.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (-x^2 + x)' = -2x + 1$

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (x - 10)' = 1$

Теперь решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$-2x + 1 < 1$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$-2x < 0$

Разделим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Решение неравенства: $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) Даны функции $f(x) = x^3 - x^2$ и $g(x) = 3x - x^2$.

Найдем производные функций.

$f'(x) = (x^3 - x^2)' = 3x^2 - 2x$

$g'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$

Составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$3x^2 - 2x < 3 - 2x$

Прибавим $2x$ к обеим частям неравенства:

$3x^2 < 3$

Разделим обе части на 3:

$x^2 < 1$

Это неравенство равносильно интервалу $-1 < x < 1$.

Решение неравенства: $x \in (-1; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

в) Даны функции $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = -x$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной: $x \neq 0$.

Найдем производные.

$f'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$g'(x) = (-x)' = -1$

Решим неравенство $f'(x) < g'(x)$ с учетом области определения:

$-\frac{1}{x^2} < -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{1}{x^2} > 1$

Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, можно умножить обе части на $x^2$ без изменения знака неравенства:

$1 > x^2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

Учитывая область определения $x \neq 0$, получаем окончательное решение.

Решение неравенства: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

г) Даны функции $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x}$ и $g(x) = 6x + \frac{2}{x}$.

Область определения обеих функций и их производных: $x \neq 0$.

Для удобства дифференцирования представим функции в виде суммы:

$f(x) = \frac{x^3}{x} + \frac{2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$

$g(x) = 6x + 2x^{-1}$

Найдем производные.

$f'(x) = (x^2 + 2x^{-1})' = 2x - 2x^{-2} = 2x - \frac{2}{x^2}$

$g'(x) = (6x + 2x^{-1})' = 6 - 2x^{-2} = 6 - \frac{2}{x^2}$

Составим и решим неравенство $f'(x) < g'(x)$:

$2x - \frac{2}{x^2} < 6 - \frac{2}{x^2}$

Прибавим $\frac{2}{x^2}$ к обеим частям неравенства:

$2x < 6$

Разделим обе части на 2:

$x < 3$

Учитывая область определения $x \neq 0$, получаем окончательное решение.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3)$.