Номер 37, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите системы неравенств (37–38):

37. a)

$\begin{cases} \sin x \ge 0; \\ \cos x \le 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2 \sin x \le 0; \\ 3 \cos x > 0. \end{cases}$

a) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \le 0 \end{cases} $

Для решения этой системы рассмотрим единичную окружность. Координаты точки на окружности, соответствующей углу $x$, равны $(\cos x, \sin x)$.

Первое неравенство, $ \sin x \ge 0 $, означает, что ордината точки на единичной окружности должна быть неотрицательной. Это соответствует точкам, расположенным в первой и второй координатных четвертях, включая оси, разделяющие их. Решением этого неравенства является множество углов $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Второе неравенство, $ \cos x \le 0 $, означает, что абсцисса точки на единичной окружности должна быть неположительной. Это соответствует точкам, расположенным во второй и третьей координатных четвертях, включая оси. Решением этого неравенства является множество углов $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Областью, где одновременно $ \sin x \ge 0 $ (верхняя полуплоскость) и $ \cos x \le 0 $ (левая полуплоскость), является вторая координатная четверть, включая ее границы. Эта четверть соответствует углам от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$.

Таким образом, общее решение системы неравенств можно записать в виде интервала с учетом периодичности тригонометрических функций.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2\sin x \le 0 \\ 3\cos x > 0 \end{cases} $

Упростим систему, разделив первое неравенство на 2, а второе на 3. Так как 2 и 3 — положительные числа, знаки неравенств не изменятся:

$ \begin{cases} \sin x \le 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} $

Снова воспользуемся единичной окружностью.

Первое неравенство, $ \sin x \le 0 $, выполняется для углов, точки которых на единичной окружности имеют неположительную ординату. Это соответствует третьей и четвертой координатным четвертям, включая границы. Решением этого неравенства является множество $x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Также этот промежуток можно записать как $[-\pi + 2\pi n, 2\pi n]$.

Второе неравенство, $ \cos x > 0 $, выполняется для углов, точки которых на единичной окружности имеют положительную абсциссу. Это соответствует первой и четвертой координатным четвертям, не включая границу (ось ординат). Решением этого неравенства является множество $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств. Областью, где одновременно $ \sin x \le 0 $ (нижняя полуплоскость) и $ \cos x > 0 $ (правая полуплоскость), является четвертая координатная четверть. Рассмотрим границы:

• При $x = 2\pi n$ (ось абсцисс): $ \sin(2\pi n) = 0 $ (удовлетворяет $\le 0$) и $ \cos(2\pi n) = 1 $ (удовлетворяет $>0$). Значит, эти точки входят в решение.
• При $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ (ось ординат): $ \sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -1 $ (удовлетворяет $\le 0$) и $ \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 $ (не удовлетворяет $>0$). Значит, эти точки не входят в решение.

Таким образом, решением является интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $0$, где левая граница не включена, а правая включена. Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.