Номер 42, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

42. Решите неравенство $f'(x) > 0$, если:

а) $f(x) = -\cos(2x - 1) - x;$

б) $f(x) = -\sin(x + 1) + 0,5x;$

в) $f(x) = 2\sin x - \sqrt{3}x;$

г) $f(x) = \frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x.$

а) Дана функция $f(x) = -\cos(2x - 1) - x$.Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования суммы:$f'(x) = (-\cos(2x - 1) - x)' = -(-\sin(2x - 1)) \cdot (2x - 1)' - (x)' = \sin(2x - 1) \cdot 2 - 1 = 2\sin(2x - 1) - 1$.Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:$2\sin(2x - 1) - 1 > 0$$2\sin(2x - 1) > 1$$\sin(2x - 1) > \frac{1}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\sin(t) > a$ является совокупность интервалов $\arcsin(a) + 2\pi n < t < \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$.В нашем случае $t = 2x - 1$ и $a = \frac{1}{2}$, $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Таким образом, получаем двойное неравенство:$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x - 1 < \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x - 1 < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$Чтобы найти $x$, сначала прибавим 1 ко всем частям неравенства:$1 + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < 2x < 1 + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$Затем разделим все части неравенства на 2:$\frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n < x < \frac{1}{2} + \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi n; \frac{1}{2} + \frac{5\pi}{12} + \pi n), n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = -\sin(x + 1) + 0,5x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (-\sin(x + 1) + 0,5x)' = -\cos(x + 1) \cdot (x + 1)' + 0,5 = -\cos(x + 1) + 0,5$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$-\cos(x + 1) + 0,5 > 0$$0,5 > \cos(x + 1)$$\cos(x + 1) < \frac{1}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\cos(t) < a$ является совокупность интервалов $\arccos(a) + 2\pi n < t < 2\pi - \arccos(a) + 2\pi n$.В нашем случае $t = x + 1$ и $a = \frac{1}{2}$, $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.Получаем двойное неравенство:$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x + 1 < 2\pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x + 1 < \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$Чтобы найти $x$, вычтем 1 из всех частей неравенства:$\frac{\pi}{3} - 1 + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{3} - 1 + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (\frac{\pi}{3} - 1 + 2\pi n; \frac{5\pi}{3} - 1 + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = 2\sin x - \sqrt{3}x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (2\sin x - \sqrt{3}x)' = 2\cos x - \sqrt{3}$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$2\cos x - \sqrt{3} > 0$$2\cos x > \sqrt{3}$$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\cos(x) > a$ является совокупность интервалов $-\arccos(a) + 2\pi n < x < \arccos(a) + 2\pi n$.В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Получаем двойное неравенство:$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x$.Найдем ее производную:$f'(x) = (\frac{1}{4}\cos 8x + \sqrt{2}x)' = \frac{1}{4}(-\sin 8x) \cdot (8x)' + \sqrt{2} = -2\sin 8x + \sqrt{2}$.Решим неравенство $f'(x) > 0$:$-2\sin 8x + \sqrt{2} > 0$$\sqrt{2} > 2\sin 8x$$\sin 8x < \frac{\sqrt{2}}{2}$Решением простейшего тригонометрического неравенства $\sin(t) < a$ является совокупность интервалов $\pi - \arcsin(a) + 2\pi n < t < 2\pi + \arcsin(a) + 2\pi n$. Это можно записать и в другой форме.В нашем случае $t = 8x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.Получаем двойное неравенство:$\pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < 8x < 2\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < 8x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi n$.Для удобства можно записать этот интервал в другом виде:$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n < 8x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 8:$-\frac{5\pi}{32} + \frac{2\pi n}{8} < x < \frac{\pi}{32} + \frac{2\pi n}{8}$$-\frac{5\pi}{32} + \frac{\pi n}{4} < x < \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{32} + \frac{\pi n}{4}), n \in \mathbb{Z}$.