Номер 49, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

49. Изобразите схематически график функции $f(x)$, непрерывной на всей числовой прямой:

а) возрастающей на промежутках $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, убывающей на отрезке $[-1, 3]$ и такой, что $f(-1) = 4$, $f(3) = -2$;

б) убывающей на промежутках $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$, возрастающей на отрезке $[2, 4]$ и такой, что $f(2) = -1$, $f(4) = 3$;

в) возрастающей на промежутках $(-\infty, -5] \cup [3, 6]$, убывающей на промежутках $[-5, 3] \cup [6, +\infty)$ и такой, что $f(-5) = 0$, $f(3) = -3$, $f(6) = 2$;

г) убывающей на промежутках $(-\infty, -4] \cup [0, 2]$, возрастающей на промежутках $[-4, 0] \cup [2, +\infty)$ и такой, что $f(-4) = -2$, $f(0) = 2$, $f(2) = -5$.

а) Согласно условию, функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой. Она возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на отрезке $[-1, 3]$. Это означает, что в точке $x = -1$ происходит смена с возрастания на убывание, следовательно, $x = -1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно $f(-1) = 4$. Таким образом, точка $(-1, 4)$ — это локальный максимум. Далее, на отрезке $[-1, 3]$ функция убывает, а на промежутке $[3, +\infty)$ — возрастает. Значит, в точке $x = 3$ убывание сменяется возрастанием, и $x = 3$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке $f(3) = -2$. Таким образом, точка $(3, -2)$ — это локальный минимум.

Для построения схематического графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(-1, 4)$ и $(3, -2)$. Затем провести непрерывную кривую, которая приходит из минус бесконечности (слева снизу), возрастает до точки $(-1, 4)$, затем убывает, проходя через точку $(3, -2)$, и после нее возрастает в плюс бесконечность (вправо вверх).

Ответ: Схематический график представляет собой непрерывную кривую, имеющую точку локального максимума $(-1, 4)$ и точку локального минимума $(3, -2)$.

б) Функция $f(x)$ непрерывна. Она убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на отрезке $[2, 4]$. Следовательно, в точке $x = 2$ убывание сменяется возрастанием, что означает, что $x = 2$ — точка локального минимума. Координаты этой точки $(2, f(2))$, то есть $(2, -1)$. Далее, на отрезке $[2, 4]$ функция возрастает, а на промежутке $[4, +\infty)$ — убывает. Это значит, что в точке $x = 4$ возрастание сменяется убыванием, и $x = 4$ является точкой локального максимума. Координаты этой точки $(4, f(4))$, то есть $(4, 3)$.

Схематический график строится следующим образом: отмечаем точки $(2, -1)$ и $(4, 3)$. Проводим непрерывную кривую, которая приходит из плюс бесконечности (слева сверху), убывает до точки локального минимума $(2, -1)$, затем возрастает до точки локального максимума $(4, 3)$ и после нее убывает в минус бесконечность (вправо вниз).

Ответ: Схематический график представляет собой непрерывную кривую, имеющую точку локального минимума $(2, -1)$ и точку локального максимума $(4, 3)$.

в) Функция $f(x)$ непрерывна. На промежутке $(-\infty, -5]$ функция возрастает, а на $[-5, 3]$ — убывает, значит, в точке $x = -5$ находится локальный максимум. Его координаты $(-5, f(-5))$, то есть $(-5, 0)$. На промежутке $[-5, 3]$ функция убывает, а на $[3, 6]$ — возрастает, значит, в точке $x = 3$ находится локальный минимум с координатами $(3, f(3))$, то есть $(3, -3)$. На промежутке $[3, 6]$ функция возрастает, а на $[6, +\infty)$ — убывает, следовательно, в точке $x = 6$ находится еще один локальный максимум с координатами $(6, f(6))$, то есть $(6, 2)$.

Схематический график: кривая приходит из минус бесконечности, возрастает до точки максимума $(-5, 0)$, затем убывает до точки минимума $(3, -3)$, после чего возрастает до точки максимума $(6, 2)$ и затем снова убывает в минус бесконечность.

Ответ: Схематический график — это непрерывная кривая с двумя локальными максимумами в точках $(-5, 0)$ и $(6, 2)$ и одним локальным минимумом в точке $(3, -3)$.

г) Функция $f(x)$ непрерывна. Она убывает на $(-\infty, -4]$ и возрастает на $[-4, 0]$. Следовательно, точка $x = -4$ является точкой локального минимума. Ее координаты $(-4, f(-4))$, то есть $(-4, -2)$. На промежутке $[-4, 0]$ функция возрастает, а на $[0, 2]$ — убывает. Значит, в точке $x = 0$ находится локальный максимум с координатами $(0, f(0))$, то есть $(0, 2)$. На промежутке $[0, 2]$ функция убывает, а на $[2, +\infty)$ — возрастает. Следовательно, в точке $x = 2$ находится локальный минимум с координатами $(2, f(2))$, то есть $(2, -5)$.

Схематический график: кривая приходит из плюс бесконечности, убывает до точки минимума $(-4, -2)$, затем возрастает до точки максимума $(0, 2)$, после чего убывает до точки минимума $(2, -5)$ и затем возрастает в плюс бесконечность.

Ответ: Схематический график — это непрерывная кривая с локальным максимумом в точке $(0, 2)$ и двумя локальными минимумами в точках $(-4, -2)$ и $(2, -5)$.