Номер 44, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

44. Найдите множество значений функции:

а) $y = x^2 + 2x - 10;$

б) $y = \frac{1}{x - 40};$

в) $y = 8\cos x;$

г) $y = 3 + 2\sin x.$

а) Функция $y = x^2 + 2x - 10$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для данной функции $a=1$ и $b=2$, поэтому $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим $x_0 = -1$ в её уравнение: $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 10 = 1 - 2 - 10 = -11$. Так как наименьшее значение функции равно -11, а ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции — это все числа, большие или равные -11. Ответ: $y \in [-11; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{1}{x - 40}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=40$. Чтобы найти множество значений, попробуем выразить $x$ через $y$. Из уравнения $y = \frac{1}{x-40}$ следует, что $y(x-40) = 1$. Из этого уравнения видно, что $y$ не может быть равно нулю, так как в противном случае мы получили бы неверное равенство $0=1$. Для любого другого значения $y \neq 0$ мы можем найти соответствующее значение $x$: $x-40 = \frac{1}{y}$, откуда $x = 40 + \frac{1}{y}$. Поскольку для любого ненулевого значения $y$ существует соответствующее значение $x$, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля. Ответ: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Дана функция $y = 8\cos x$. Известно, что множество значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$. Чтобы найти множество значений для функции $y = 8\cos x$, умножим все части этого неравенства на 8. Так как 8 — положительное число, знаки неравенства не изменятся: $8 \cdot (-1) \le 8\cos x \le 8 \cdot 1$, что эквивалентно $-8 \le y \le 8$. Таким образом, множество значений функции — это отрезок от -8 до 8 включительно. Ответ: $y \in [-8; 8]$.

г) Дана функция $y = 3 + 2\sin x$. Для нахождения множества значений этой функции воспользуемся известным свойством функции синус: её значения лежат в отрезке $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Выполним преобразования этого неравенства. Сначала умножим все его части на 2: $2 \cdot (-1) \le 2\sin x \le 2 \cdot 1$, что дает $-2 \le 2\sin x \le 2$. Затем прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства: $3 - 2 \le 3 + 2\sin x \le 3 + 2$. В результате получаем $1 \le y \le 5$. Следовательно, множество значений исходной функции — это отрезок от 1 до 5 включительно. Ответ: $y \in [1; 5]$.