Номер 40, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

40. Решите неравенство $f''(x) \ge 0$, если:

a) $f(x)=x^2-1;$

б) $f(x)=x+2x^2;$

в) $f(x)=3x+x^3;$

г) $f(x)=6+x^3.$

а) Дана функция $f(x) = x^2 - 1$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$2x \geq 0$.

Разделив обе части неравенства на 2, получим:

$x \geq 0$.

Решением неравенства является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Дана функция $f(x) = x + 2x^2$.

Найдем производную функции $f(x)$, предварительно записав ее в стандартном виде $f(x) = 2x^2 + x$:

$f'(x) = (2x^2 + x)' = (2x^2)' + (x)' = 2 \cdot 2x + 1 = 4x + 1$.

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$4x + 1 \geq 0$.

Перенесем 1 в правую часть:

$4x \geq -1$.

Разделим обе части на 4:

$x \geq -\frac{1}{4}$.

Решением неравенства является промежуток $[-\frac{1}{4}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}, +\infty)$.

в) Дана функция $f(x) = 3x + x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x + x^3)' = (3x)' + (x^3)' = 3 + 3x^2$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$3 + 3x^2 \geq 0$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$3(1 + x^2) \geq 0$.

Разделим обе части на 3:

$1 + x^2 \geq 0$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \geq 0$. Следовательно, $1 + x^2$ всегда будет больше или равно 1, и, очевидно, больше 0. Таким образом, неравенство $1 + x^2 \geq 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) Дана функция $f(x) = 6 + x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (6 + x^3)' = (6)' + (x^3)' = 0 + 3x^2 = 3x^2$.

Решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$3x^2 \geq 0$.

Разделим обе части на 3:

$x^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.