Номер 47, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

47. Изобразив на промежутке $[0; 3]$ часть графика периодической функции $y = f(x)$ с периодом, равным числу 3, продолжите его на промежутке $[-3; 9]$.

Для решения задачи сначала необходимо определить вид функции $y=f(x)$ на одном из промежутков, длина которого равна периоду. По условию, период функции $T=3$. В задаче предлагается сначала изобразить график на промежутке $[0; 3]$. Поскольку конкретный вид функции не указан, мы можем выбрать любой, при условии, что он будет определен для всех $x \in [0; 3]$.

Для наглядности и простоты выберем график в виде ломаной линии. Зададим его тремя ключевыми точками на промежутке $[0; 3]$:

- Начальная точка: $(0, 0)$

- Точка максимума (вершина): $(1.5, 2)$

- Конечная точка: $(3, 0)$

Таким образом, на промежутке $[0; 3]$ график представляет собой треугольник с основанием на оси абсцисс и высотой 2. Важным условием для непрерывного периодического продолжения является равенство значений функции на концах основного периода: $f(0) = f(3) = 0$. Наш выбор этому условию удовлетворяет.

Далее, необходимо продолжить (распространить) этот график на весь заданный промежуток $[-3; 9]$. Свойство периодичности функции с периодом $T=3$ означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(x+T)$, то есть $f(x) = f(x+3)$. Это также означает, что $f(x) = f(x-3)$. Используя это свойство, мы можем "скопировать" наш построенный фрагмент с промежутка $[0; 3]$ на соседние промежутки такой же длины.

Весь интервал $[-3; 9]$ имеет длину $9 - (-3) = 12$, что составляет ровно $12/3 = 4$ периода. Разобьем его на четыре промежутка: $[-3; 0]$, $[0; 3]$, $[3; 6]$ и $[6; 9]$.

1. На промежутке $[0; 3]$ график уже задан: это ломаная, соединяющая точки $(0, 0)$, $(1.5, 2)$ и $(3, 0)$.

2. На промежутке $[3; 6]$ график будет точно таким же, как на $[0; 3]$, но сдвинутым на 3 единицы вправо. Ключевые точки на этом участке: $(3, 0)$, $(4.5, 2)$, $(6, 0)$.

3. На промежутке $[6; 9]$ график снова повторяется, будучи сдвинутым еще на 3 единицы вправо (или на 6 единиц от исходного). Ключевые точки: $(6, 0)$, $(7.5, 2)$, $(9, 0)$.

4. На промежутке $[-3; 0]$ график получается сдвигом основного фрагмента на 3 единицы влево. Ключевые точки: $(-3, 0)$, $(-1.5, 2)$, $(0, 0)$.

Таким образом, итоговый график на всем промежутке $[-3; 9]$ будет состоять из четырех одинаковых треугольных "волн", следующих друг за другом.

Ответ: График функции $y=f(x)$ на промежутке $[-3; 9]$ можно изобразить как непрерывную ломаную линию, состоящую из четырех одинаковых повторяющихся фрагментов. Один такой фрагмент на промежутке $[0; 3]$ представляет собой ломаную, последовательно соединяющую точки $(0, 0)$, $(1.5, 2)$ и $(3, 0)$. Весь график на $[-3; 9]$ проходит через следующие ключевые точки: $(-3, 0)$, $(-1.5, 2)$, $(0, 0)$, $(1.5, 2)$, $(3, 0)$, $(4.5, 2)$, $(6, 0)$, $(7.5, 2)$ и $(9, 0)$.