Страница 146 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

46. Исследуйте функцию на четность и нечетность:

а) $f(x) = x^5 - x^{21};$

б) $f(x) = \sin x - \sin 3x;$

в) $f(x) = x^2 + \cos^3 x;$

г) $f(x) = \sin^4 x - x;$

д) $f(x) = \frac{x}{\cos x} + \operatorname{tg} x;$

е) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}.$

а) $f(x) = x^5 - x^{21}$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 - (-x)^{21} = -x^5 - (-x^{21}) = -x^5 + x^{21} = -(x^5 - x^{21})$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $f(x) = \sin x - \sin 3x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin(-x) - \sin(3(-x)) = \sin(-x) - \sin(-3x)$.

Так как синус — нечетная функция ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$), получаем:

$f(-x) = -\sin x - (-\sin 3x) = -\sin x + \sin 3x = -(\sin x - \sin 3x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $f(x) = x^2 + \cos^3 x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 + \cos^3(-x)$.

Так как степенная функция с четным показателем является четной ($(-x)^2 = x^2$) и косинус — четная функция ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$), получаем:

$f(-x) = x^2 + (\cos(-x))^3 = x^2 + (\cos x)^3 = x^2 + \cos^3 x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $f(x) = \sin^4 x - x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sin^4(-x) - (-x) = (\sin(-x))^4 + x$.

Так как синус — нечетная функция, а возведение в четную степень дает положительный результат, получаем:

$f(-x) = (-\sin x)^4 + x = \sin^4 x + x$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = \sin^4 x + x \neq f(x) = \sin^4 x - x$.

$-f(x) = -(\sin^4 x - x) = -\sin^4 x + x$.

$f(-x) = \sin^4 x + x \neq -f(x)$.

Так как не выполняется ни условие четности ($f(-x) = f(x)$), ни условие нечетности ($f(-x) = -f(x)$), функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

д) $f(x) = \frac{x}{\cos x} + \text{tg}\, x$

1. Область определения функции задается условиями $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-x}{\cos(-x)} + \text{tg}(-x)$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетности тангенса ($\text{tg}(-x) = -\text{tg}\, x$), получаем:

$f(-x) = \frac{-x}{\cos x} - \text{tg}\, x = -(\frac{x}{\cos x} + \text{tg}\, x)$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

е) $f(x) = \text{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}$

1. Область определения функции задается условиями $\cos x \neq 0$ (для тангенса) и $\sin x \neq 0$ (для знаменателя дроби). Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \text{tg}^2(-x) + \frac{(-x)^3}{\sin(-x)} = (\text{tg}(-x))^2 + \frac{-x^3}{-\sin x}$.

Используя свойства нечетности тангенса и синуса, получаем:

$f(-x) = (-\text{tg}\, x)^2 + \frac{-x^3}{-\sin x} = \text{tg}^2 x + \frac{x^3}{\sin x}$.

3. Сравним $f(-x)$ с $f(x)$:

$f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

47. Изобразив на промежутке $[0; 3]$ часть графика периодической функции $y = f(x)$ с периодом, равным числу 3, продолжите его на промежутке $[-3; 9]$.

Для решения задачи сначала необходимо определить вид функции $y=f(x)$ на одном из промежутков, длина которого равна периоду. По условию, период функции $T=3$. В задаче предлагается сначала изобразить график на промежутке $[0; 3]$. Поскольку конкретный вид функции не указан, мы можем выбрать любой, при условии, что он будет определен для всех $x \in [0; 3]$.

Для наглядности и простоты выберем график в виде ломаной линии. Зададим его тремя ключевыми точками на промежутке $[0; 3]$:

- Начальная точка: $(0, 0)$

- Точка максимума (вершина): $(1.5, 2)$

- Конечная точка: $(3, 0)$

Таким образом, на промежутке $[0; 3]$ график представляет собой треугольник с основанием на оси абсцисс и высотой 2. Важным условием для непрерывного периодического продолжения является равенство значений функции на концах основного периода: $f(0) = f(3) = 0$. Наш выбор этому условию удовлетворяет.

Далее, необходимо продолжить (распространить) этот график на весь заданный промежуток $[-3; 9]$. Свойство периодичности функции с периодом $T=3$ означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(x+T)$, то есть $f(x) = f(x+3)$. Это также означает, что $f(x) = f(x-3)$. Используя это свойство, мы можем "скопировать" наш построенный фрагмент с промежутка $[0; 3]$ на соседние промежутки такой же длины.

Весь интервал $[-3; 9]$ имеет длину $9 - (-3) = 12$, что составляет ровно $12/3 = 4$ периода. Разобьем его на четыре промежутка: $[-3; 0]$, $[0; 3]$, $[3; 6]$ и $[6; 9]$.

1. На промежутке $[0; 3]$ график уже задан: это ломаная, соединяющая точки $(0, 0)$, $(1.5, 2)$ и $(3, 0)$.

2. На промежутке $[3; 6]$ график будет точно таким же, как на $[0; 3]$, но сдвинутым на 3 единицы вправо. Ключевые точки на этом участке: $(3, 0)$, $(4.5, 2)$, $(6, 0)$.

3. На промежутке $[6; 9]$ график снова повторяется, будучи сдвинутым еще на 3 единицы вправо (или на 6 единиц от исходного). Ключевые точки: $(6, 0)$, $(7.5, 2)$, $(9, 0)$.

4. На промежутке $[-3; 0]$ график получается сдвигом основного фрагмента на 3 единицы влево. Ключевые точки: $(-3, 0)$, $(-1.5, 2)$, $(0, 0)$.

Таким образом, итоговый график на всем промежутке $[-3; 9]$ будет состоять из четырех одинаковых треугольных "волн", следующих друг за другом.

Ответ: График функции $y=f(x)$ на промежутке $[-3; 9]$ можно изобразить как непрерывную ломаную линию, состоящую из четырех одинаковых повторяющихся фрагментов. Один такой фрагмент на промежутке $[0; 3]$ представляет собой ломаную, последовательно соединяющую точки $(0, 0)$, $(1.5, 2)$ и $(3, 0)$. Весь график на $[-3; 9]$ проходит через следующие ключевые точки: $(-3, 0)$, $(-1.5, 2)$, $(0, 0)$, $(1.5, 2)$, $(3, 0)$, $(4.5, 2)$, $(6, 0)$, $(7.5, 2)$ и $(9, 0)$.

48. Найдите период функции:

а) $y = 3\cos(3x)$;

б) $y = 2\sin\frac{1}{x}$;

в) $y = -4\operatorname{tg}(x + 2)$;

г) $y = \operatorname{ctg}(3 - 2x)$.

а)Период функции вида $y = A\cos(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cos(x)$, который равен $2\pi$.Для функции $y=3\cos3x$ коэффициент при $x$ равен $k=3$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

б)Функция является периодической, если существует такое число $T \ne 0$ (период), что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.Рассмотрим поведение функции $y = 2\sin\frac{1}{x}$ при $x \to \infty$. Когда $x$ стремится к бесконечности, аргумент синуса $\frac{1}{x}$ стремится к нулю.Следовательно, предел функции при $x \to \infty$ равен $\lim_{x\to\infty} 2\sin\frac{1}{x} = 2\sin(0) = 0$.Периодическая функция может иметь конечный предел на бесконечности только в том случае, если она является постоянной (константой).Данная функция не является постоянной, так как её значения меняются (например, при $x = \frac{2}{\pi}$, $y=2\sin(\frac{\pi}{2})=2$).Поэтому функция $y = 2\sin\frac{1}{x}$ не является периодической.

Ответ: функция не является периодической.

в)Период функции вида $y = A\tan(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\tan(x)$, который равен $\pi$.Для функции $y=-4\tan(x+2)$ аргумент тангенса можно представить в виде $1 \cdot x + 2$. Коэффициент при $x$ равен $k=1$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Ответ: $\pi$

г)Период функции вида $y = A\cot(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\cot(x)$, который равен $\pi$.Для функции $y=\cot(3-2x)$ аргумент котангенса можно представить в виде $-2x+3$. Коэффициент при $x$ равен $k=-2$.Следовательно, период данной функции равен:

$T = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

49. Изобразите схематически график функции $f(x)$, непрерывной на всей числовой прямой:

а) возрастающей на промежутках $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, убывающей на отрезке $[-1, 3]$ и такой, что $f(-1) = 4$, $f(3) = -2$;

б) убывающей на промежутках $(-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$, возрастающей на отрезке $[2, 4]$ и такой, что $f(2) = -1$, $f(4) = 3$;

в) возрастающей на промежутках $(-\infty, -5] \cup [3, 6]$, убывающей на промежутках $[-5, 3] \cup [6, +\infty)$ и такой, что $f(-5) = 0$, $f(3) = -3$, $f(6) = 2$;

г) убывающей на промежутках $(-\infty, -4] \cup [0, 2]$, возрастающей на промежутках $[-4, 0] \cup [2, +\infty)$ и такой, что $f(-4) = -2$, $f(0) = 2$, $f(2) = -5$.

а) Согласно условию, функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой. Она возрастает на промежутке $(-\infty, -1]$ и убывает на отрезке $[-1, 3]$. Это означает, что в точке $x = -1$ происходит смена с возрастания на убывание, следовательно, $x = -1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке равно $f(-1) = 4$. Таким образом, точка $(-1, 4)$ — это локальный максимум. Далее, на отрезке $[-1, 3]$ функция убывает, а на промежутке $[3, +\infty)$ — возрастает. Значит, в точке $x = 3$ убывание сменяется возрастанием, и $x = 3$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке $f(3) = -2$. Таким образом, точка $(3, -2)$ — это локальный минимум.

Для построения схематического графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(-1, 4)$ и $(3, -2)$. Затем провести непрерывную кривую, которая приходит из минус бесконечности (слева снизу), возрастает до точки $(-1, 4)$, затем убывает, проходя через точку $(3, -2)$, и после нее возрастает в плюс бесконечность (вправо вверх).

Ответ: Схематический график представляет собой непрерывную кривую, имеющую точку локального максимума $(-1, 4)$ и точку локального минимума $(3, -2)$.

б) Функция $f(x)$ непрерывна. Она убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на отрезке $[2, 4]$. Следовательно, в точке $x = 2$ убывание сменяется возрастанием, что означает, что $x = 2$ — точка локального минимума. Координаты этой точки $(2, f(2))$, то есть $(2, -1)$. Далее, на отрезке $[2, 4]$ функция возрастает, а на промежутке $[4, +\infty)$ — убывает. Это значит, что в точке $x = 4$ возрастание сменяется убыванием, и $x = 4$ является точкой локального максимума. Координаты этой точки $(4, f(4))$, то есть $(4, 3)$.

Схематический график строится следующим образом: отмечаем точки $(2, -1)$ и $(4, 3)$. Проводим непрерывную кривую, которая приходит из плюс бесконечности (слева сверху), убывает до точки локального минимума $(2, -1)$, затем возрастает до точки локального максимума $(4, 3)$ и после нее убывает в минус бесконечность (вправо вниз).

Ответ: Схематический график представляет собой непрерывную кривую, имеющую точку локального минимума $(2, -1)$ и точку локального максимума $(4, 3)$.

в) Функция $f(x)$ непрерывна. На промежутке $(-\infty, -5]$ функция возрастает, а на $[-5, 3]$ — убывает, значит, в точке $x = -5$ находится локальный максимум. Его координаты $(-5, f(-5))$, то есть $(-5, 0)$. На промежутке $[-5, 3]$ функция убывает, а на $[3, 6]$ — возрастает, значит, в точке $x = 3$ находится локальный минимум с координатами $(3, f(3))$, то есть $(3, -3)$. На промежутке $[3, 6]$ функция возрастает, а на $[6, +\infty)$ — убывает, следовательно, в точке $x = 6$ находится еще один локальный максимум с координатами $(6, f(6))$, то есть $(6, 2)$.

Схематический график: кривая приходит из минус бесконечности, возрастает до точки максимума $(-5, 0)$, затем убывает до точки минимума $(3, -3)$, после чего возрастает до точки максимума $(6, 2)$ и затем снова убывает в минус бесконечность.

Ответ: Схематический график — это непрерывная кривая с двумя локальными максимумами в точках $(-5, 0)$ и $(6, 2)$ и одним локальным минимумом в точке $(3, -3)$.

г) Функция $f(x)$ непрерывна. Она убывает на $(-\infty, -4]$ и возрастает на $[-4, 0]$. Следовательно, точка $x = -4$ является точкой локального минимума. Ее координаты $(-4, f(-4))$, то есть $(-4, -2)$. На промежутке $[-4, 0]$ функция возрастает, а на $[0, 2]$ — убывает. Значит, в точке $x = 0$ находится локальный максимум с координатами $(0, f(0))$, то есть $(0, 2)$. На промежутке $[0, 2]$ функция убывает, а на $[2, +\infty)$ — возрастает. Следовательно, в точке $x = 2$ находится локальный минимум с координатами $(2, f(2))$, то есть $(2, -5)$.

Схематический график: кривая приходит из плюс бесконечности, убывает до точки минимума $(-4, -2)$, затем возрастает до точки максимума $(0, 2)$, после чего убывает до точки минимума $(2, -5)$ и затем возрастает в плюс бесконечность.

Ответ: Схематический график — это непрерывная кривая с локальным максимумом в точке $(0, 2)$ и двумя локальными минимумами в точках $(-4, -2)$ и $(2, -5)$.

50. Используя простейшие преобразования графиков, постройте графики следующих функций:

а) $y = x^2 - 2x + 5$;б) $y = x^2 + 4$;

в) $y = 2 - \frac{1}{x}$;г) $y = 1 + \frac{2}{x - 3}$;

д) $y = 2\sin x$;е) $y = 2 + \cos x$;

ж) $y = 1 + 3\sin 2x$;з) $y = 3\cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$;

и) $y = \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$;к) $y = \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{6} + x\right) - 1$.

а) $y = x^2 - 2x + 5$

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1)^2 + 4$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — параболу $y = x^2$.

2. Сдвигаем график $y = x^2$ на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить график функции $y = (x - 1)^2$.

3. Сдвигаем полученный график $y = (x - 1)^2$ на 4 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = (x - 1)^2 + 4$.

Ответ: График функции — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

б) $y = x^2 + 4$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — параболу $y = x^2$.

2. Сдвигаем график $y = x^2$ на 4 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = x^2 + 4$.

Ответ: График функции — это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$.

в) $y = 2 - \frac{1}{x}$

Перепишем функцию в виде $y = -\frac{1}{x} + 2$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Отображаем график $y = \frac{1}{x}$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -\frac{1}{x}$. Ветви гиперболы теперь расположены во II и IV координатных четвертях.

3. Сдвигаем полученный график $y = -\frac{1}{x}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = -\frac{1}{x} + 2$.

Ответ: График функции — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ путем симметричного отображения относительно оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота: $y = 2$, вертикальная асимптота: $x = 0$.

г) $y = 1 + \frac{2}{x - 3}$

Перепишем функцию в виде $y = \frac{2}{x - 3} + 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

2. Растягиваем график $y = \frac{1}{x}$ вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить график $y = \frac{2}{x}$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \frac{2}{x}$ на 3 единицы вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = \frac{2}{x - 3}$.

4. Сдвигаем полученный график $y = \frac{2}{x - 3}$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \frac{2}{x - 3} + 1$.

Ответ: График функции — это гипербола, полученная из графика $y = \frac{1}{x}$ путем растяжения в 2 раза вдоль оси Oy, сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота: $y = 1$, вертикальная асимптота: $x = 3$.

д) $y = 2\sin{x}$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — синусоиду $y = \sin{x}$.

2. Растягиваем график $y = \sin{x}$ вдоль оси Oy в 2 раза, чтобы получить искомый график $y = 2\sin{x}$.

Ответ: График функции — это синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда колебаний равна 2, период $2\pi$.

е) $y = 2 + \cos{x}$

Перепишем функцию в виде $y = \cos{x} + 2$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — косинусоиду $y = \cos{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cos{x}$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \cos{x} + 2$.

Ответ: График функции — это косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy. Область значений функции: $[1; 3]$.

ж) $y = 1 + 3\sin{2x}$

Перепишем функцию в виде $y = 3\sin(2x) + 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — синусоиду $y = \sin{x}$.

2. Сжимаем график $y = \sin{x}$ вдоль оси Ox в 2 раза, чтобы получить график $y = \sin(2x)$. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Растягиваем полученный график $y = \sin(2x)$ вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить график $y = 3\sin(2x)$. Амплитуда становится равной 3.

4. Сдвигаем полученный график $y = 3\sin(2x)$ на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = 3\sin(2x) + 1$.

Ответ: График функции — синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ сжатием в 2 раза по оси Ox, растяжением в 3 раза по оси Oy и сдвигом на 1 единицу вверх. Период $T = \pi$, амплитуда 3, область значений $[-2; 4]$.

з) $y = 3\cos(\frac{\pi}{6} + x)$

Перепишем функцию в виде $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — косинусоиду $y = \cos{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cos{x}$ на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси Ox, чтобы получить график $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

3. Растягиваем полученный график $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ вдоль оси Oy в 3 раза, чтобы получить искомый график $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График функции — косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ влево и растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Амплитуда равна 3, период $2\pi$.

и) $y = \tan(x - \frac{\pi}{3}) + 2$

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — тангенсоиду $y = \tan{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \tan{x}$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3})$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3})$ на 2 единицы вверх по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \tan(x - \frac{\pi}{3}) + 2$.

Ответ: График функции — тангенсоида, полученная из графика $y = \tan{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{3}$ вправо и на 2 единицы вверх. Центр симметрии смещается в точку $(\frac{\pi}{3}; 2)$.

к) $y = \cot(\frac{\pi}{6} + x) - 1$

Перепишем функцию в виде $y = \cot(x + \frac{\pi}{6}) - 1$.

Построение графика этой функции выполняется в несколько шагов:

1. Строим базовый график — котангенсоиду $y = \cot{x}$.

2. Сдвигаем график $y = \cot{x}$ на $\frac{\pi}{6}$ влево по оси Ox, чтобы получить график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6})$.

3. Сдвигаем полученный график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6})$ на 1 единицу вниз по оси Oy, чтобы получить искомый график $y = \cot(x + \frac{\pi}{6}) - 1$.

Ответ: График функции — котангенсоида, полученная из графика $y = \cot{x}$ сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ влево и на 1 единицу вниз. Вертикальные асимптоты смещаются в $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

51. Найдите обратную функцию и область ее определения для функции, заданной в указанном промежутке:

а) $f(x) = 2x + 3, x \in R;$

б) $f(x) = (x - 1)^2, x \in [0; +\infty);$

в) $f(x) = x^2 - 1, x \in [0; +\infty).$

а) Исходная функция $f(x) = 2x + 3$ определена на всей числовой прямой $x \in R$. Это линейная функция, она является строго возрастающей на всей области определения, а значит, обратима.Чтобы найти обратную функцию, заменим $f(x)$ на $y$:$y = 2x + 3$Теперь выразим $x$ через $y$:$2x = y - 3$$x = \frac{y - 3}{2}$Заменив $y$ на $x$ и $x$ на $g(x)$, мы получаем формулу для обратной функции:$g(x) = \frac{x - 3}{2}$Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Для функции $f(x) = 2x + 3$ область значений — это все действительные числа, то есть $E(f) = R$. Следовательно, область определения обратной функции $D(g) = R$.

Ответ: Обратная функция $g(x) = \frac{x - 3}{2}$, область ее определения $x \in R$.

б) Заданная функция $f(x) = (x - 1)^2$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ не является строго монотонной. Вершина параболы, график которой представляет эту функцию, находится в точке $x = 1$. На отрезке $[0, 1]$ функция убывает (от $f(0)=1$ до $f(1)=0$), а на промежутке $[1, +\infty)$ — возрастает (от $f(1)=0$ до $+\infty$). Поскольку функция не является взаимно однозначной на указанном промежутке (например, $f(0)=1$ и $f(2)=1$), у нее не существует обратной функции на всей области определения $[0; +\infty)$.

Часто в таких задачах предполагается, что нужно найти обратную функцию на участке монотонности. Рассмотрим промежуток $x \in [1; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго возрастает и, следовательно, обратима.

Пусть $y = f(x)$, тогда $y = (x - 1)^2$.Выразим $x$ через $y$. Так как $y \ge 0$, можно извлечь квадратный корень из обеих частей:$\sqrt{y} = |x - 1|$Поскольку мы рассматриваем промежуток $x \in [1; +\infty)$, то $x - 1 \ge 0$, и, следовательно, $|x - 1| = x - 1$.$\sqrt{y} = x - 1$$x = \sqrt{y} + 1$Заменив $y$ на $x$, получаем обратную функцию $g(x) = \sqrt{x} + 1$.Область определения обратной функции $g(x)$ — это область значений функции $f(x)$ на промежутке $[1; +\infty)$. На этом промежутке $f(x)$ принимает значения от $f(1)=0$ до $+\infty$. Таким образом, область значений $E(f) = [0; +\infty)$, и это является областью определения для $g(x)$.

Ответ: На заданном промежутке $x \in [0; +\infty)$ обратной функции не существует. Если же рассматривать функцию на промежутке монотонности $x \in [1; +\infty)$, то обратная функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$, и область ее определения $x \in [0; +\infty)$.

в) Исходная функция $f(x) = x^2 - 1$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ является строго возрастающей. Вершина параболы находится в точке $x=0$, поэтому на указанном промежутке функция обратима.

Пусть $y = f(x)$, тогда $y = x^2 - 1$.Выразим $x$ через $y$:$x^2 = y + 1$$x = \pm \sqrt{y + 1}$Поскольку по условию $x \in [0; +\infty)$, мы должны выбрать неотрицательное значение, то есть $x = \sqrt{y + 1}$.Заменив $y$ на $x$, получаем обратную функцию:$g(x) = \sqrt{x + 1}$Область определения обратной функции $g(x)$ совпадает с областью значений исходной функции $f(x)$ на промежутке $[0; +\infty)$.$f(0) = 0^2 - 1 = -1$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.Следовательно, область значений $f(x)$ на данном промежутке есть $E(f) = [-1; +\infty)$. Это и будет область определения для обратной функции $g(x)$.

Ответ: Обратная функция $g(x) = \sqrt{x + 1}$, область ее определения $x \in [-1; +\infty)$.

52. Найдите точки разрыва функции:

a) $f(x) = \frac{1}{x+1}$;

б) $f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$;

в) $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$;

г) $f(x) = \frac{x-3}{x(x+1)(x^2-25)}$;

д) $f(x) = \frac{x-1}{\cos x}$;

е) $f(x) = \frac{3}{\sin x}$.

а)

Функция $f(x) = \frac{1}{x+1}$ является дробно-рациональной. Точки разрыва такой функции находятся там, где ее знаменатель обращается в ноль, так как в этих точках функция не определена.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x + 1 = 0$

Решая это уравнение, находим:

$x = -1$

Таким образом, функция имеет одну точку разрыва.

Ответ: $x = -1$.

б)

Функция $f(x) = \frac{x-1}{x^2-4}$ не определена в точках, где знаменатель равен нулю.

Найдем эти точки, решив уравнение:

$x^2 - 4 = 0$

Это разность квадратов: $(x-2)(x+2) = 0$.

Корнями уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва.

Ответ: $x = -2$, $x = 2$.

в)

Функция $f(x) = \frac{x+1}{x^2-9}$ не определена в точках, где знаменатель равен нулю.

Приравняем знаменатель к нулю:

$x^2 - 9 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x-3)(x+3) = 0$.

Отсюда получаем две точки разрыва: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Ответ: $x = -3$, $x = 3$.

г)

Функция $f(x) = \frac{x-3}{x(x+1)(x^2-25)}$ имеет разрывы в точках, где ее знаменатель обращается в ноль.

Запишем уравнение для знаменателя:

$x(x+1)(x^2-25) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

1. $x = 0$

2. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

3. $x^2 - 25 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$

Таким образом, функция имеет четыре точки разрыва.

Ответ: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 5$.

д)

Функция $f(x) = \frac{x-1}{\cos x}$ имеет разрывы в тех точках, где знаменатель $\cos x$ равен нулю.

Решим уравнение:

$\cos x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение, решениями которого являются:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Это бесконечное множество точек разрыва.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е)

Функция $f(x) = \frac{3}{\sin x}$ не определена в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю.

Решим уравнение:

$\sin x = 0$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Функция имеет бесконечное множество точек разрыва.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.