Страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Дан закон распределения случайной величины X (табл. 54):

Таблица 54

X: 1, 3, 5, 8, 12

P: 0,125, 0,25, 0,25, 0,25, 0,125

Найдите значения $M(X)$, $M[X - M(X)]$, $M(5X)$:

A) 5,625; 0; 28,25;

B) 28,125; 5,65; 0;

C) 5,625; 0; 28,125;

D) 5,65; 0; 28,25.

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить три значения: математическое ожидание $M(X)$, математическое ожидание отклонения $M[X - M(X)]$ и математическое ожидание $M(5X)$.

M(X)

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности по формуле:$M(X) = \sum x_i p_i$Подставим значения из таблицы распределения:$M(X) = 1 \cdot 0,125 + 3 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,25 + 8 \cdot 0,25 + 12 \cdot 0,125$$M(X) = 0,125 + 0,75 + 1,25 + 2,0 + 1,5$$M(X) = 5,625$

Ответ: $M(X) = 5,625$.

M[X - M(X)]

Это математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для его нахождения воспользуемся свойствами математического ожидания.Одно из основных свойств математического ожидания гласит, что математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания всегда равно нулю.Докажем это, используя свойство линейности $M(aX+b) = aM(X)+b$:$M[X - M(X)] = M(X) - M(M(X))$Поскольку $M(X)$ является константой (вычисленным числом 5,625), математическое ожидание константы равно самой константе: $M(M(X)) = M(X)$.Следовательно:$M[X - M(X)] = M(X) - M(X) = 0$

Ответ: $M[X - M(X)] = 0$.

M(5X)

Для вычисления этого значения воспользуемся свойством математического ожидания, согласно которому константу можно выносить за знак математического ожидания:$M(cX) = c \cdot M(X)$В нашем случае константа $c = 5$.$M(5X) = 5 \cdot M(X)$Так как мы уже нашли, что $M(X) = 5,625$, подставим это значение:$M(5X) = 5 \cdot 5,625 = 28,125$

Ответ: $M(5X) = 28,125$.

Итак, мы получили следующие значения: $M(X) = 5,625$; $M[X - M(X)] = 0$; $M(5X) = 28,125$.Сравнивая этот набор чисел с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) 5,625; 0; 28,125;

5. Закон распределения случайной величины задан таблицей 55:

Таблица 55

X: 3, 7, 11, 16, 18

P: 0,1; 0,2; 0,4; 0,2; 0,1

Вычислите дисперсию и среднее квадратичное отклонение:

A) $D(X) = 20,25$, $\sigma(X) = 4,5$;

B) $D(X) = 4,4$, $\sigma(X) = 19,49$;

C) $D(X) = 12,25$, $\sigma(X) = 3,5$;

D) $D(X) = 19,49$, $\sigma(X) \approx 4,4$.

Для вычисления дисперсии и среднего квадратичного отклонения случайной величины X, заданной законом распределения, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Вычисление математического ожидания (среднего значения) $M(X)$.

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы:

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 7 \cdot 0,2 + 11 \cdot 0,4 + 16 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 1,4 + 4,4 + 3,2 + 1,8 = 11,1$

2. Вычисление дисперсии $D(X)$.

Дисперсию можно вычислить по формуле: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Сначала найдем $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

Подставим значения:

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 7^2 \cdot 0,2 + 11^2 \cdot 0,4 + 16^2 \cdot 0,2 + 18^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 49 \cdot 0,2 + 121 \cdot 0,4 + 256 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 9,8 + 48,4 + 51,2 + 32,4 = 142,7$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 142,7 - (11,1)^2 = 142,7 - 123,21 = 19,49$

3. Вычисление среднего квадратичного отклонения $\sigma(X)$.

Среднее квадратичное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим вычисленное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{19,49} \approx 4,4147...$

Округляя до одного знака после запятой, получаем $\sigma(X) \approx 4,4$.

Сравнив полученные результаты $D(X) = 19,49$ и $\sigma(X) \approx 4,4$ с предложенными вариантами, мы видим, что они соответствуют варианту D.

Ответ: D) $D(X) = 19,49$, $\sigma(X) \approx 4,4$.

6. По заданному закону распределения случайной величины найдите $M(X)$, $D(X)$, $\sigma(X)$ (табл. 56):

Таблица 56

X: 3, 4, 7, 9, 18

P: 0,1, 0,2, 0,4, 0,2, 0,1

A) $M(X) = 6,7$, $D(X) = 6,61$, $\sigma(X) \approx 2,57$;

B) $M(X) = 6$, $D(X) = 5$, $\sigma(X) \approx \sqrt{5}$;

C) $M(X) = 6,61$, $D(X) = 6,7$, $\sigma(X) = 2,57$;

D) $M(X) = 6$, $D(X) = 4$, $\sigma(X) = 2$.

Для решения задачи последовательно найдем математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$ и среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)$ для заданной дискретной случайной величины.

M(X)

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле суммы произведений всех её возможных значений на их вероятности:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Подставим значения из таблицы распределения:

$M(X) = 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,4 + 9 \cdot 0,2 + 18 \cdot 0,1$

$M(X) = 0,3 + 0,8 + 2,8 + 1,8 + 1,8 = 7,5$

Ответ: $M(X) = 7,5$.

D(X)

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса её значений. Для её вычисления воспользуемся формулой:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Сначала необходимо найти математическое ожидание квадрата случайной величины, $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

$M(X^2) = 3^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 7^2 \cdot 0,4 + 9^2 \cdot 0,2 + 18^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 9 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,2 + 49 \cdot 0,4 + 81 \cdot 0,2 + 324 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 0,9 + 3,2 + 19,6 + 16,2 + 32,4 = 72,3$

Теперь, зная $M(X^2)$ и $M(X)$, вычислим дисперсию:

$D(X) = 72,3 - (7,5)^2 = 72,3 - 56,25 = 16,05$

Ответ: $D(X) = 16,05$.

σ(X)

Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

Подставим найденное значение дисперсии:

$\sigma(X) = \sqrt{16,05} \approx 4,0062$

Округляя до сотых, получаем:

$\sigma(X) \approx 4,01$

Ответ: $\sigma(X) \approx 4,01$.

Сравнивая полученные результаты ($M(X) = 7,5$, $D(X) = 16,05$, $\sigma(X) \approx 4,01$) с предложенными вариантами ответа, можно заключить, что ни один из вариантов A, B, C, D не является правильным для заданного в таблице закона распределения. Вероятнее всего, в условии задачи или в вариантах ответов допущена ошибка.

7. Законы распределения случайных величин X и Y заданы соответственно таблицами 57, 58:

Таблица 57

Таблица 58

Вычислите:

1) $M(3X - 4Y)$;

A) 7,5; 60,59;

C) 7,5; 139,33;

2) $D(2X + 3Y)$;

B) 2,3; 60,59;

D) 2,3; 139,33.

Для решения задачи необходимо вычислить математическое ожидание (M) и дисперсию (D) для каждой случайной величины, а затем использовать свойства этих характеристик.

Шаг 1: Вычисление M(X) и D(X) для случайной величины X.

Закон распределения X:

Математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 1 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 7 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,1 = 0,1 + 0,6 + 1,5 + 2,1 + 0,9 = 5,2$.

Для вычисления дисперсии $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ сначала найдем $M(X^2)$:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0,1 + 3^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,3 + 7^2 \cdot 0,3 + 9^2 \cdot 0,1$

$M(X^2) = 1 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,3 + 49 \cdot 0,3 + 81 \cdot 0,1 = 0,1 + 1,8 + 7,5 + 14,7 + 8,1 = 32,2$.

Теперь вычислим дисперсию D(X):

$D(X) = 32,2 - (5,2)^2 = 32,2 - 27,04 = 5,16$.

Шаг 2: Вычисление M(Y) и D(Y) для случайной величины Y.

Закон распределения Y:

Математическое ожидание M(Y) вычисляется по формуле $M(Y) = \sum y_i p_i$:

$M(Y) = 3 \cdot 0,1 + 5 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,3 + 12 \cdot 0,2 + 15 \cdot 0,1 = 0,3 + 1,5 + 2,4 + 2,4 + 1,5 = 8,1$.

Для вычисления дисперсии $D(Y) = M(Y^2) - [M(Y)]^2$ сначала найдем $M(Y^2)$:

$M(Y^2) = \sum y_i^2 p_i = 3^2 \cdot 0,1 + 5^2 \cdot 0,3 + 8^2 \cdot 0,3 + 12^2 \cdot 0,2 + 15^2 \cdot 0,1$

$M(Y^2) = 9 \cdot 0,1 + 25 \cdot 0,3 + 64 \cdot 0,3 + 144 \cdot 0,2 + 225 \cdot 0,1 = 0,9 + 7,5 + 19,2 + 28,8 + 22,5 = 78,9$.

Теперь вычислим дисперсию D(Y):

$D(Y) = 78,9 - (8,1)^2 = 78,9 - 65,61 = 13,29$.

1) M(3X – 4Y);

Используем свойство линейности математического ожидания: $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$.

$M(3X - 4Y) = 3M(X) - 4M(Y)$.

Подставляем ранее вычисленные значения $M(X)=5,2$ и $M(Y)=8,1$:

$M(3X - 4Y) = 3 \cdot 5,2 - 4 \cdot 8,1 = 15,6 - 32,4 = -16,8$.

(Примечание: полученный результат не совпадает ни с одним из предложенных вариантов ответа, что указывает на возможную опечатку в условии задачи или в вариантах ответов.)

Ответ: -16,8

2) D(2X + 3Y):

Для независимых случайных величин используется свойство дисперсии: $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$. Предполагая, что X и Y независимы, получаем:

$D(2X + 3Y) = 2^2 D(X) + 3^2 D(Y) = 4D(X) + 9D(Y)$.

Подставляем ранее вычисленные значения $D(X)=5,16$ и $D(Y)=13,29$:

$D(2X + 3Y) = 4 \cdot 5,16 + 9 \cdot 13,29 = 20,64 + 119,61 = 140,25$.

(Примечание: полученный результат 140,25 близок к варианту ответа 139,33, разница может быть вызвана опечаткой в исходных данных.)

Ответ: 140,25

8. Вероятность попадания с одного выстрела в цель первого стрелка 0,9, а второго стрелка — 0,95. Если случайная величина $X$ — число попадания в цель, то составьте закон распределения случайной величины $X$ (табл. 59—62):

Для решения задачи определим вероятности всех возможных исходов для двух стрелков.

Пусть $p_1$ - вероятность попадания первого стрелка, а $q_1$ - вероятность его промаха.

$p_1 = 0,9$

$q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,9 = 0,1$

Пусть $p_2$ - вероятность попадания второго стрелка, а $q_2$ - вероятность его промаха.

$p_2 = 0,95$

$q_2 = 1 - p_2 = 1 - 0,95 = 0,05$

Случайная величина X — это общее число попаданий. Она может принимать значения 0, 1 или 2. Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, мы можем вычислить вероятности для каждого значения X.

Вероятность $P(X=0)$ (ни одного попадания)

Это означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого стрелка:

$P(X=0) = q_1 \times q_2 = 0,1 \times 0,05 = 0,005$

Вероятность $P(X=2)$ (два попадания)

Это означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка:

$P(X=2) = p_1 \times p_2 = 0,9 \times 0,95 = 0,855$

Вероятность $P(X=1)$ (одно попадание)

Это событие может произойти двумя способами:

1. Первый стрелок попал, а второй промахнулся. Вероятность: $p_1 \times q_2 = 0,9 \times 0,05 = 0,045$.

2. Первый стрелок промахнулся, а второй попал. Вероятность: $q_1 \times p_2 = 0,1 \times 0,95 = 0,095$.

Так как эти два исхода несовместны, общая вероятность для $X=1$ равна их сумме:

$P(X=1) = (p_1 \times q_2) + (q_1 \times p_2) = 0,045 + 0,095 = 0,14$

Теперь составим закон распределения случайной величины X:

При $X=0$, вероятность $p = 0,005$.

При $X=1$, вероятность $p = 0,14$.

При $X=2$, вероятность $p = 0,855$.

Сравнивая полученные результаты с предложенными таблицами, мы видим, что они соответствуют таблице 62.

Проверка: сумма вероятностей должна быть равна 1.

$0,005 + 0,14 + 0,855 = 1$. Расчеты верны.

Ответ: Таблица 62.